离散数学模型与实验

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1、离散模型与实验第七章：离散模型与实验7.1截断切割7.2锁具装箱7.3钻井布局7.4讨论题7.1截断切割7.1.1问题的提出这是1997年全国大学生数学建模竞赛的B题，问题如下：某些工业加工部门，经常需要从一个长方体中加工出一个尺寸已知，位置预定的长方体（设长方体的对应表面是平面），通常采用截断切割的加工方式，这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分，因此，一般情况下，须经过6次截断切割，分别截去原长方体的前后、左右、上下6个方向多余的部分。设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面不平行时，

2、因调整刀具需额外费用e，显然，若截去各个多余小块的先后顺序不同，则加工费用不同，试设计一种确定最优加工次序的方法，使加工费用最少。用以下实例验证你的方法：待加工长方体与成品长方体的长、宽、高分别为10；14.5；19和3；2；4二者左面，前面，底面之间的距离分别为6；7；9（单位cm），垂直切割费用为1元/cm2，r和e的数据有以下4组：a）r=1；e=0；b）r=1.5；e=0；c）r=8；e=0；d）r=1.5；2≤e≤157.1.2模型假设及符号说明（1）假设水平工作台接触的长方体底面是事先指定的。（2）假设第一次切割前调整刀具的费用

3、不计。（3）假设加工前后，两长方体对应的表面平行。（4）假设垂直切割费用为1元/cm2，水平切割费用为r元/cm2。（5）假设调整一次刀具的费用为e。（6）假设总的加工费用为C。（7）假设待加工长方体的长、宽、高分别为a、b、c，为常数，成品长方体的长、宽、高分别为A、B、C，也是常数。（8）假设待加工长方体与成品长方体的左面、前面、后面、下面、上面之间的距离为且为常数。7.1.3问题分析及数学模型根据所给的实际问题，从一个长方体加工出一个尺寸位置预定的长方体，通常情况下，需要经过6次截断切割，如果我们假定这6个切割面分别位于左、右、前、后

4、、下、下面，那么可将它们相应地编号为1、2、3、4、5、6。这样这6个数字的一个全排列代表着一种切割顺序。例如，排列123456代表的的切割顺序为“左前后右下上”。我们将这6个数字的所有全排列记为集合S，即：因此问题转化为求总的切割费用C在S上的最小值问题。总的切割费用应包含二部分，一部分为加权的切割面积之和，另一部分是刀具调整费用之和,因此，数学模型为：其中：表示进行切割后，加工面的切割面积；：为相应切割面的权，由题意有：：为调整刀具的次数。7.1.4模型的分析及计算当e=0时（1）式成为：由于集合S为有限集，只有个元素，代表着720种切

5、割方式，r给定，切割顺序固定则很容易计算出加工费用。比较出所有不同切割方式下的费用，便可得到最小费用下的切割方式。下面给出MATLAB计算程序。1）建立可行的加工顺序表。2）用穷举法求出720种切割方式下的费用。3）求最小费用及其对应的切割方式。在MATLAB编辑器中建立如下文件。%截断切割ch711%文件名：ch711.ma0=[1014.519];a1=[324];d1=[679];r=1;d2=a0-a1-d1;d=[d1,d2];d=d([1,4,2,5,3,6]);p=0;fori=1:6forj=1:6,if(j-i)~=0,f

6、ork=1:6,if(k-i)*(k-j)~=0,forl=1:6,if(l-i)*(l-j)*(l-k)~=0,form=1:6,if(m-i)*(m-j)*(m-k)*…(m-l)~=0,forn=1:6,if(n-i)*(n-j)*(n-k)*…(n-l)*(n-m)~=0,p=p+1;x(p,:)=[ijklmn];endendendendendendendendendendendf=[112233];forp=1:720o=x(p,:);cost=0;a=a0;fori=1:6j=o(i);aa=a;aa(f(j))=[];iff

7、(j)==3cost=cost+r*aa(1)*aa(2);elsecost=cost+aa(1)*aa(2);enda(f(j))=a(f(j))-d(j);endc(p)=cost;endminc=min(c),find(c==minc);minx=x(ans,:)执行后输出最小切割费用minc=374最优切割顺序minx=531642536142即当r=1,e=0时最优切割顺序有两条，它们分别是“下前左上后右”和“下前上左后右”，最小切割费用为374元。当e≠0时，模型为（1）式，即由于垂直切割的方向有两个，因此至少调整一次刀具，而垂

8、直切割共进行四次，故调整刀具的次数至多，于是额外费用有e，2e，3e，三种可能。所以我们把全体切割顺序按刀具的调整费用分类，共分三类，同类的刀具调整费用是相等的，故可先分别求出在