线性离散系统的数学模型

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1、第3章线性离散系统数学描述本章阐述线性定常离散系统的数学描述及其求解方法，它们是分析和设计数字控制系统的基础。3.1引言离散系统（DiscreteSystem），又称离散时间系统（Discrete-TimeSystem)。本章研究线性定常离散系统的数学描述及求解方法，这是分析和综合数控系统的基础。数连续系统离散系统学微分方程——差分方程模脉冲过渡函数——脉冲响应型S传递函数——Z传递函数状态空间表达式——离散状态空间表达式主要内容：Ø线性定常离散系统的四种数学模型及其互相转换；Ø线性定常离散系统的求解方法。3.2线性常系数差分方程(时域表达式

2、)——DifferenceEquation3.2.1差分方程表达式Ø第一种形式：表示y(kT)与本时刻及前m个时刻输入、前n个时刻的输出有关，称为n阶常系数差分方程，是在输入输出的最高阶上统一。y(k)ay(k1)ay(k2)ay(kn)bu(k)bu(k1)bu(km)12n01mØ第二种形式：称为(n，m)阶差分方程，其中m≤n，是在输入输出的最低阶上统一。y(kn)ay(kn1)ay(k)bu(km)bu(km1)bu(k)1n01m连续定常系统的n阶微分方程（m≤n）nn1

3、mm1ddddddy(t)ay(t)ay(t)ay(t)bu(t)bu(t)bu(t)bu(t)n1n1n1n0m1m1m1mdtdtdtdtdtdt3.2.2差分方程解=通解+特解Ø通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。Ø特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解，反映了系统在外作用下的强迫运动。差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。解法一：递推法——从初始值递推求解y(k)ay(k1)ay(kn)1nbu(k)bu(k1)

4、bu(km)01my(k)bu(k)bu(k1)bu(km)01m[ay(k1)ay(kn)]1nmnbiu(ki)aiy(ki)i0i1例322y(k1)ay(k)bu(k),设y(0)、u(k)已知，用递推法求解。解：k0y(1)ay(0)bu(0)2k1y(2)ay(1)bu(1)ay(0)abu(0)bu(1)k1kk1iy(k)ay(0)abu(i)通解特解i0解法二：解析法——差分方程通解求法y(kn)ay(kn1)ay(k

5、)bu(km)bu(km1)bu(k)1n01m它的齐次方程为y(kn)ay(kn1)ay(k)01nnn1n2它的特征方程为rarara012n有n个特征根：（1）若解为n个单根r,r,,r,则方程通解为：12nkkky(k)crcrcr；1122nn（2）若解有m重根，则m重根的解的形式为kk2km-1kr,kr,kr，，kr的线性组合，通解中的系数c由系统的初始条件确定。nØ特解求法——试探法，略对照：连续系统微分方程解析法求通解连续系统的齐次方程为(n)(n1)yay

6、ay(t)01n它的特征方程为nn1n2xaxaxa012n有n个特征根：（1）若解为n个单根x,x,,x,则方程通解为：12ny(t)cex1tcex2tcexnt；12n（2）若解有m重根，则m重根的解的形式为xtxt2xtm1xte,te,te，，te的线性组合，通解中的系数c由系统的初始条件确定。n例已知y(k2)3y(k1)2y(k)0,初始条件y(0)0，y(1)1，求解。2解：特征方程r3r20，有两实根1，2，kk则通解为y(k)c(1)c(2)。12代入初

7、始条件可得c1,c1，12kk则解为y(k)(1)(2)。例y(k2)2y(k1)5y(k)0,求通解。2解：特征方程r2r50，jarctg2有一对共轭复根1j25e，kk则通解为y(k)c(1j2)c(1j2)。12例y(k2)4y(k1)4y(k)0,求通解。2解：特征方程r4r40，有二重根2，kk则通解为y(k)c(2)ck(2)。123.3脉冲响应与卷积和ImpulseResponse——ConvolutionSummationì1,k0设系统输入为单位

8、脉冲序列d*(t)íî0,k¹0其输出脉冲序列h*(t)称为系统的脉冲响应，也称权序列（weightingsequence）。δ*(t)h*(t)δ*(t)h*(