7-4离散系统的数学模型

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1、7-4离散系统的数学模型1.离散系统的数学定义2.线性常系数差分方程及其解法3.脉冲传递函数4.组合环节的等效脉冲传递函数5.闭环系统的脉冲传递函数计算6.Z变换的局限性及修正Z变换1.离散系统的数学定义与连续系统类似，单输入单输出线性时不变式中k、i是整数；对于自变量为时间t的采样系点讨论差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本概念、开环和闭环脉冲传递函数的建立方法。离散系统的数学模型离散系统数学模型有三大类：差分方程(时域)、脉冲传递函数(复数域)和状态空间模型。本节重间变量的单位；统，k、i分别表示kT、iT，即采用周期T作为时(1)线性离散系统r(k)是系统输入；c(k)

2、是系统输出。表明：讨论离散系统时，仅关注采样时刻上的各信号间的关系。(2)线性时不变离散系统系统输入输出关系不随时间改变的线性离散系统，称为线性时不变离散系统。(3)离散系统差分方程的建立例T形电阻网络如下，建立节点电压差分方程。根据有无对应的连续系统，离散系统可分为这里，通过3个简单示例，介绍本质离散系采样系统通过对连续系统进行采样而获本质离散系统客观存在的无对应连续系RRR2R2R2R2R2R2REV0V1Vk-1VkVk+1Vn统差分方程的建立方法。统的离散系统，可称为本质离散系统。得的系统离散数学模型，简称为采样系统；两类：设c(k)为第k个月存款前的存款余额，r(k

3、)为例建立教育储蓄余额(每月存款一次)差分方程。解：根据T形电阻网络，得到简化的局部电路图解差分方程为c(k+1)=(1+b)[c(k)+r(k)]，c(0)=0；得到Vk=0.5Vk-1，V0=E；(k为节点的序号。)RR2R2R2RVk-1VkVk+1I2III/2I/2易知该差分方程解为Vk=0.5kE。差分方程解为新加入的存款额，0

4、样周期T的大小及采样开关后是否有零阶保持器有关。如何建立采样系统的差分方程，将在“脉冲传递函数”小节中讨论。不仅与原连续系统为当月生产量，b(k)为当月销售量。2.线性常系数差分方程及其解法后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换法计算初始条件不为零的解。时间移动算子q：上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书前向差分：后向差分：下面讨论求解差分方程两种方法：递推法和写简便可采用时间移动算子。Z变换法。(1)递推法recursivemethod前向差分方程或后向差分方程都可以使用递例7-16已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下推法

5、求解。在已知输出c(k)的初始值和输入序列r(k)时，利用递推关系(差分方程)，逐步计算出输出序列c(k)。试用递推法计算输出序列c(k)，k=0,1,2,…,10。已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下例7-16-1解采用递推关系c(k+2)=1+5c(k+1)-6c(k)；得┇试用递推法计算输出序列c(k)，k=0,1,2,…。例7-16-1续这两个示例表明，用递推法求解差分方程，┇解采用递推关系c(k)=1+0.5c(k-1)–0.5c(k-2)；计算过于烦琐，不易得到c(k)的通项表达式。(2)Z变换法(例7-17)使用Z变换法时，应采用前向差分方程。在例7-17用

6、Z变换法解下列(齐次)差分方程解：已知输出c(k)的初始值和输入序列r(k)，应用Z变变换计算出C(z)，再经Z反变换，求出序列c(k)。已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下例7-16-2试用Z变换法计算输出序列c(k)，k≥0。得到解超前差分方程c(k+2)-5c(k+1)+6c(k)=r(k)；例7-16-2续与例7-16的计算方法比较，Z变换法得到通项式。已知系统差分方程、初始状态如下习题7-7计算输出序列c(k)，k=0,1,2,3,4。解一：递推法计算c(k+2)=4c(k+1)-c(k)；习题7-7续解二：Z变换法计算c(k+2)-4c(k+1)+c(k)=0

7、；试用Z变换法解下列差分方程：习题7-8(1)c*(t+2T)-6c*(t+T)+8c*(t)=r*(t),r*(t)=1(t),c*(t)=0(t≤0)；解：c*(t+2T)+2c*(t+T)+c*(t)=r*(t),习题7-8(2)c(0)=c(T)=0，r(nT)=nT；解：习题7-8(3)解：c(k+3)+6c(k+2)+11c(k+1)+6c(k)=0,c(0)=c(1)=1,c(2)=0；习题7-8(4)解：c(k+2)+5c(k+1)+6c(k)=c(0)=c(1)=0；习题7-8(4)续