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1、7-4离散系统数学模型烟台大学光电学院7.4.1离散系统的数学定义系统的输入、输出均为离散时间信号的系统，称为离散系统。1.线性离散系统若：则：（均匀性，叠加性）2.线性定常离散系统系统的输入、输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称线性定常离散系统。线性定常离散系统常用线性常系数差分方程描述。7.4.2线性常系数差分方程及求解n阶后向差分方程：即：n阶前向差分方程：即：例1：已知差分方程输入序列r(k)=1,初始条件c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,3,……差分方程的求解迭代法：解：例2：用z变换法解差分方程：初始条件c(0)=0,c(1)=1。2.z
2、变换法解：对差分方程取z变换得：即：7.4.3脉冲传递函数在线性连续系统理论中,把初始条件为零的情况下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比,定义为传递函数。在线性采样系统理论中,把初始条件为零的情况下系统的离散输出信号的Z变换与离散输入信号的Z变换之比,定义为脉冲传递函数,或称Z传递函数。1.脉冲传递函数的定义在零初始条件下，可求采样系统的离散输出信号为实际上,许多采样系统的输出信号是连续信号,在这种情况下,为了应用脉冲传递函数的概念,可以在输出端虚设一个采样开关,并令其采样周期与输入端采样开关的相同。2.脉冲传递函数的意义对线性定常离散系统，如果输入为单位序列：则系统输出称为单位脉
3、冲响应序列，记做：任意输入采样信号根据叠加原理,输出信号为一系列脉冲响应之和,即在t=kT时刻,输出的脉冲值为根据卷积定理,可得上式的Z变换C(z)=K(z)R(z)脉冲函数的含义为：系统脉冲传递函数G(z)等于系统加权序列K(nT)的z变换。3.脉冲传递函数的求法G(z)=Z［K(t)］=Z{L-1［G(s)］}=Z［G(s)］例3：设开环系统为：试求其脉冲传递函数G(z)。解：查z变换表得：4.开环系统脉冲传递函数当开环离散系统由几个环节串联组成时，其脉冲传递函数的求法与连续系统不完全相同。即使两个开环离散系统的组成环节完全相同，但由于采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会截
4、然不同。(1)采样拉氏变换的性质1).采样函数的拉氏变换具有周期性，即：证明：2).若采样函数的拉氏变换E*(s)与连续函数的拉氏变换G(s)相乘后再离散化，则可以从离散符号中提出来。即：证明：(2)有串联环节时开环系统脉冲传递函数1)串联环节之间有采样开关D(z)=G1(z)R(z)C(z)=G2(z)D(z)=G1(z)G2(z)R(z)有采样开关分隔的两个环节串联时,其脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。例：求系统的开环脉冲传递函数。解：其开环脉冲传递函数为2)串联环节之间没有采样开关没有采样开关分隔的两个环节串联时,其脉冲传递函数为这两个环节的传递函数之积的Z变换.G1(z)
5、G2(z)≠G1G2(z)例：求系统的开环脉冲传递函数。解：其开环脉冲传递函数为3)有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数5.闭环系统脉冲传递函数由于采样器在闭环系统中可以有多种配置，因此，闭环离散系统没有唯一的结构图形式。连续输出信号和误差信号的拉斯变换为：所以，闭环离散系统对输入量的误差脉冲传递函数和对输入量的脉冲传递函数为：取拉氏变换得：闭环离散系统特征方程为：由于采样器在闭环系统中有多种配置，所以闭环离散系统脉冲传函不能由求得。即：典型闭环离散系统及输出z变换函数见课本P283表7-36.z变换法的局限性z变换的推导是建立在假定采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上，每个理想脉冲的面积，
6、等于采样瞬时上的时间常数。这种假定，只有当采样持续时间与系统的最大时间常数相比是很小的时候才成立。输出z变换函数C(z)，只确定了时间函数c(t)在采样间隔中的信息。因此对于任何C(z)，z反变换c(nT)只能代表c(t)在采样时的数值。用z变换法分析离散系统时，系统连续部分传递函数Gp(s)的极点数至少要比其零点数多两个。
