离散数学是研究离散数量关系和离散结构数学模型的数学

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1、屈婉玲耿素云张立昂1前言离散数学是研究离散数量关系和离散结构数学模型的数学分支的统称.是计算机科学与技术专业的核心基础课程.“离散”和“连续”之间的对立与统一是数学发展的重要动力之一.古代数学主要讨论整数等离散与离散化了的数量关系，因而，那时数学被看成是研究上述数量关系的科学.但随着数学理论的发展，处理离散数量关系的数学工具在刻画和处理某类事务方面显得无能为力，因此出现了处理连续数量关系的数学工具：微积分.2近代数学主要以研究连续数量关系及其数学结构、数学模型，并取得了极其辉煌的成果，这一特征一直延续至今，仍在现代数学中占据支配地位（人们现在仍在学习微积分等经典数学理论）.3然而，近半个世

2、纪以来，计算机的飞速发展与广泛应用，极大地冲击了现代数学.由于计算机是一个离散结构，它只能处理离散或离散化了的数量关系，因此，无论是计算机科学本身，还是与计算机科学极其应用密切相关的现代科学领域，都面临如何更有效地处理离散的对象和离散的数量关系，如何对离散结构建立数学模型以及如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机来加以处理.4计算机科学以研究计算领域中的一些普遍规律为其基本任务，在此过程中，涉及和应用了很多现代数学，所以需要以近代数学作为工具.离散数学的内容一直随着计算机科学的发展而不断得到扩充与更新.同时，离散数学也促进了计算机技术和计算机科学的发展.在计算机发展

3、初期，人们利用布尔代数理论研究开关电路，建立了一套完整的数理逻辑理论，对计算机逻辑设计起了很大作用.于是，人们开始从新认识离散数量关系的研究意义，重新重视讨论离散数量关系的数学分枝，并取得新的发展.5此外，在计算机科学中普遍采用离散数学中的基本概念、基本思想和方法.例如，集合论的概念和方法，抽象代数的概念和方法等，在计算机科学的各个领域随处都能碰到.所有这些都使得离散数学在计算机科学中的地位和作用越来越重要，成了必不可少的工具.因此有人把离散数学称为“计算机数学”.6离散数学的内容涵盖很广，到目前为止，它包括的主要内容有：集合论、数理逻辑、抽象代数、图论、自动机理论等.它们广泛应用于计算机

4、科学的研究中，也大量应用于数据结构、操作系统、数据库理论等后续课程中.在物理、化学、生物等自然科学以及经济、教育等社会科学中，也正在获得广泛应用，有人预计，未来社会将有越来越多的人学习离散数学，就像当今人们学习微积分一样.7第一部分数理逻辑第一章命题逻辑的基本概念第二章命题逻辑等值演算第三章命题逻辑的推理理论第四章一阶逻辑基本概念第五章一阶逻辑等值演算与推理第二部分集合论第六章集合代数第七章二元关系第八章函数第三部分代数结构第九章代数系统第十章群与环第十一章格与布尔代数第四部分图论第十四章图的基本概念第十五章欧拉图与哈密顿图第十六章树第十七章平面图第十八章二分图主要内容8主要内容命题逻辑基

5、本概念命题逻辑等值演算命题逻辑推理理论一阶逻辑基本概念一阶逻辑等值演算与推理第一部分数理逻辑9数理逻辑是用数学的方法来研究人类推理过程的一门数学学科.其显著特征是符号化和形式化，即把逻辑所涉及的“概念、判断、推理”用符号来表示，用公理体系来刻划,并基于符号串形式的演算来描述推理过程的一般规律.又称符号逻辑、现代逻辑.10第一章命题逻辑的基本概念主要内容命题与联结词命题及其分类联结词与复合命题命题公式及其赋值11命题与真值命题：判断结果唯一的陈述句命题的真值：判断的结果真值的取值：真与假真命题与假命题注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题陈述句中的悖论，判断结果不唯一确定的不是命题1.1命题

6、与联结词12例1下列句子中那些是命题？(1)是有理数.(2)2+5=7.(3)x+5>3.(4)你去教室吗？(5)这个苹果真大呀！(6)请不要讲话！(7)2050年元旦下大雪.(8)我说的这句话假.假命题命题概念真命题不是命题不是命题不是命题不是命题命题，但真值现在不知道不是命题（悖论）13命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题简单命题符号化用小写英文字母p,q,r,…,pi,qi,ri(i1)表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p的真值为0，q：2+5=7，则q的真值为1命题分类14否定、合取、析取联结词定义1.1设p为命题，复合命题“非p”(或“p

7、的否定”)称为p的否定式，记作p，符号称作否定联结词.规定p为真当且仅当p为假.可用下表来规定否定词“┐”的意义:p┐p011015定义1.2设p,q为两个命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词.规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真.可用下表来规定合取词“∧”的意义：pqp∧q00110101000116定义1.3设p,q为两个命题，复合命题“p或q”称作p与q的