指数运算和指数函数

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1、指数运算和指数函数一、知识点1.根式的性质（1）当n为奇数时，有（2）当n为偶数时，有（3）负数没有偶次方根（4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：(2)零指数幂(3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)(2)(3)4．指数函数定义：函数叫做指数函数。5.指数函数的图象和性质01图象性质定义域R值域(0,+∞)定点过定点（0，1），即x=0时，y=1（1）a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，00时，

2、01。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性和关于y轴对称二、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①②③④则：0＜b＜a＜1＜d＜c又即：x∈(0,+∞)时，（底大幂大）x∈(－∞,0)时，（2）特殊函数的图像：三、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．四、典型例题类型一、指数函数的概念例1．函数是指数函数，求的值．【答案】2【解析】由是指数

3、函数，可得解得，所以．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）=，符合指数函数的定义，而（2）中底数不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数的乘积；（4）中底数，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R[)；（3）；（4）[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切xR，

4、3x≠-1).∵，又∵3x>0，1+3x>1，∴，∴，∴，∴值域为(0，1).(2)定义域为R，，∵2x>0，∴即x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴值域为[).(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.(4)∵∴定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵，∴，∴值域为[1，a)∪(a，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)(2)(3)(4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1时

5、，；01时，；0

6、】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，3]【解析】解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，∴，，．（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知．又对于x∈R，恒成立，∴．∴函数在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知．∴．∴函数在[1，+∞）上单调递减．综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数

7、，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．∴函数的值域为（0，3]．解法二：∵函数的下义域为R，令u=x2－2x，则．∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数．又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同；当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反．举一

8、反三：【变