第五章 回归模型的函数形式

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1、第五章回归模型的函数形式上海立信会计学院到目前为止，我们考虑的都是参数线性，同时又是变量线性的模型。本章将考虑参数线性，但变量不一定是线性的模型。1.双对数模型或不变弹性模型2.半对数模型3.倒数模型所有这些模型的一个重要特征是，它们都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。一、双对数模型1.模型假设有如下函数从模型可知，就我们目前的知识，无法用普通最小二乘法估计这样的模型。但我们可以把以上模型作如下变化，得到：继而，如果令，则有：以上模型称为双对数模型，或双对数线性模型。如果我们将和都看作单独的变量，那么就可以将双对数模型变为变量线性模型。试作如下变换，，得到：如果上

2、式满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法估计，从而得到BLUE估计量。2.双对数模型系数的特殊含义与变量线性回归模型不同，双对数模型的斜率系数度量了Y对X的弹性，即X的变动引起Y变动的百分比。如果用符号代表Y的一个微小变动，代表X的一个微小变动，则弹性E定义为：从图形上看，变量线性的回归模型的图形是一条直线，而双对数模型的图形是一条曲线，并且对于不同的X值来说，都具有相同的弹性。所以，双对数模型又称为不变弹性模型。不变弹性模型例子：数学分数（见P19）该例子主要关注美国S.A.T大学入学考试中的数学成绩与家庭收入之间的关系。即：考察数学成绩与家庭收入之

3、间的回归关系。３.双对数模型的假设检验双对数模型的假设检验与线性模型没有任何不同。在随机误差项服从正态分布的假设下，估计的回归系数服从自由度为（n-k）的t分布，其中k为包括截距在内的参数个数。4.比较线性和双对数回归模型（一个经验问题）对于数学成绩支出一例来说，线性支出模型和双对数模型哪个更合适？1.作散点图，通过散点图来判断。（这种方式只适合双变量模型）2.比较两个模型的值。该方法要求应变量的形式必须是相同的。3.即使两个模型中的应变量相同，两个值可以直接比较，我们也建议不要根据最高值这一标准选择模型。而应该首先考虑进入模型中的解释变量之间的相关性、解释变量系数的预

4、期符号、统计显著性以及类似弹性系数这样的度量工具。5.多元对数线性回归模型对于三变量对数线性模型来说：模型中的偏斜率系数　、　又称为偏弹性系数。因此，　度量了　不变条件下，对　的弹性，即在　为常量时，每变动1%引起的变化的百分比。类似地，度量了　不变条件下　对　的弹性。二、如何测度增长率：半对数模型1.半对数模型先看一个例子：根据下表中的美国人口数据求1975-2007年美国的人口增长率。考虑如下复利计算公式：将上式作如下变形，等式两边取对数，得：如果令因此，可得：将上式变化成为经济计量模型，得到：形如上式的回归模型称为半对数模型或者增长模型、对数-线性模型。利用OLS

5、方法估计美国一例的半对数模型，得到：美国人口增长一例估计的样本回归线美国人口一例估计的半对数模型中，斜率0.0107表示，平均而言，美国人口的年增长率为0.0107。截距5.36的反对数（为212.576）可以表示1974年的人口值。2.瞬时增长率与复合增长率由　　　　　　　　　　　　　可知　　　　　　　　　　于是：在美国人口增长率一例中，有：此处要注意的是，通过对半对数模型估计所得到的斜率的值为0.0107，该值为美国人口的瞬时增长率，而通过计算而得到的　值0.010757称为复合增长率。3.线性趋势模型形如如下形式的模型称为线性趋势模型：对美国人口增长率一例线性趋势

6、模型的OLS估计结果如下：回归结果表明，在样本区间内，美国人口每年以2.757(百万)的绝对速度增长。因而美国人口表现出向上的趋势。截距表明美国1969年的人口数为210（百万）。４.线性－对数模型：解释变量是对数形式考虑如下例子：个人总消费支出与服务支出的关系（1993.1～1998.3,1992年美元价，10亿美元），数据见下表：1993.1～1998.3个人总消费支出与各类支出的季度数据（10亿美元）以个人总消费支出X与服务支出Y的关系为例，得到线性－对数模型如下：利用最小二乘法估计以上模型，回归结果如下：在以上回归结果中，斜率系数表示，如果个人总消费支出增加1个

7、百分点，则平均服务支出将增加24.32(10亿）美元。作出这一解释是因为，线性-对数模型中的斜率系数可以表示为：而上式又可以表示为：所以，线性-对数模型中的斜率系数可以解释为，解释变量的相对变化所引起的应变量的绝对变化量。三、倒数模型形如下式的模型称为倒数模型（reciprocalmodel）：倒数模型的一个显著特征是，随着　的无限增大，　　趋于零，接近渐进值或极限值　。因此，当变量　无限增大时，倒数模型中的应变量的取值将逐渐靠近其渐进线或极值。下图描绘了倒数模型的一些曲线形状：倒数模型：上图ａ）中，若Ｙ表示生产的平均固定成本(AFC)，