7.6-7.8 二阶线性微分方程1

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1、二阶线性微分方程7.6二阶线性微分方程7.7二阶常系数齐次线性微分方程7.8二阶常系数非齐次线性微分方程7.6二阶线性微分方程7.6.1二阶齐次线性微分方程解的结构要解决这一问题，需要引入两个函数线性相关与线性无关的概念.练习：书本7.6题1（1）（3）（5）二阶齐线性微分方程解的结构定理1的两个线性无关的解，则是方程(1)的通解。7.6.2.二阶非齐线性微分方程解的结构(1)解的性质性质1的一个特解，则是原方程的一个特解。性质2的一个特解，则是方程的一个特解。性质3是其对应的齐方程的一个特解。性质4的一个特解。如何求特解？定理2的通解，则是方程(1)的通解。由性质1以及通解的概念立即可

2、以得知该定理成立。二阶常系数齐次线性方程的解法代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).(3)(2)故它们线性无关,因此(2)的通解为(3)情形1情形2需要求另一个特解情形3这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结特征根的情况通解的表达式实根实根复根解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为特征根为解特征方程为故通解为例3特征根为练习：习题7.7题1（2）（4）2(2)作业：习题7.7题1：（3）（5）题2（1）（3）自测题73月19日检查自测题7.对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解

3、的性质及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解.定理2那么方程(1)的通解为问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论f(x)的两种类型.用待定系数法求解.对应齐次方程(1)(2)那么方程(1)的通解为定理2求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法则情形1若r不是特征根,即情形2若r是特征方程的单根,即情形3若r是特征方程的二重根,即综上讨论设特解为其中解对应齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，

4、原方程通解为例5得解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得解例7对应齐次方程通解特征方程特征根此时原方程的通解为练习：习题7.8题1（1）、（7）作业：习题7.81（2）（5）（7）自测题7一、选择题题8：选择题第9题：第七章练习题