二阶线性微分方程的解法

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1、二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式(1)变成(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1如果函数与是式(2)的两个解,则也是式(2)的解,其中是任意常数.证明因为与是方程(2)的解,所以有将代入方程(2)的左边,得=所以是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、

2、线性无关的概念设为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数使得当在该区间内有,则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.例如在实数范围内是线性相关的,因为又如在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须.对两个函数的情形,若常数,则,线性相关,若常数,则,线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2如果与是方程式(2)的两个线性无关的特解,则为任意常数)是方程式(2)的通解.例如,是二阶齐次线性方程,是它的两个解,且常数,即,线性无关,所以(是任意常数)是方程的通解.由于指数函数(r为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用来

3、试着看能否选取适当的常数,使满足方程(2).将求导,得把代入方程(2),得因为,所以只有(3)只要满足方程式(3),就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程(2)的系数.特征方程(3)的两个根为,因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1)当时，是两个不相等的实根.,是方程(2)的两个特解,并且常数,即与线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为(2)当时,是两个相等的实根.,这时只能得到方程(2)的一个特解,还需求出另一个解,且常数,设,即.将代入方程(2),得整理,得由于,所以因为是特征方程(3

4、)的二重根,所以从而有因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程(2)的另一个解.那么,方程(2)的通解为即.(1)当时,特征方程(3)有一对共轭复根()于是利用欧拉公式把改写为之间成共轭关系,取=,方程(2)的解具有叠加性,所以,还是方程(2)的解,并且常数,所以方程(2)的通解为综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程(2)求特征方程的两个根(3)根据的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.特征方程的两个根方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根例1求方程的通解.解:所给方程的特征方程为所求通解为.例2求方程满足初始条件的特解

5、.解所给方程的特征方程为通解为将初始条件代入,得,于是,对其求导得将初始条件代入上式,得所求特解为例3求方程的通解.解所给方程的特征方程为其根为所以原方程的通解为二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3设是方程(1)的一个特解,是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则是方程式(1)的通解.证明把代入方程(1)的左端:==使方程(1)的两端恒等,所以是方程(1)的解.定理4设二阶非齐次线性方程(1)的右端是几个函数之和,如(4)而与分别是方程与的特解,那么就是方程(4)的特解,非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.型的解法,其中为常数,是关于的一个次多项式.

6、方程(1)的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为,其中是某个多项式函数.把代入方程(1)并消去,得(5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数的确定方法:(1)若不是方程式(2)的特征方程的根,即,要使式(5)的两端恒等,可令为另一个次多项式:代入(5)式,并比较两端关于同次幂的系数,就得到关于未知数的个方程.联立解方程组可以确定出.从而得到所求方程的特解为(2)若是特征方程的单根,即,要使式(5)成立,则必须要是次多项式函数,于是令用同样的方法来确定的系数.(3)若是特征方程的重根,即.要使(5)式成立,则必须是一个次多项式，可令用同样的方法来确定的

7、系数.综上所述,若方程式(1)中的,则式(1)的特解为其中是与同次多项式,按不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4求方程的一个特解.解是型,且对应齐次方程的特征方程为,特征根根为.=-2是特征方程的单根,令,代入原方程解得故所求特解为.例5求方程的通解.解先求对应齐次方程的通解.特征方程为,齐次方程的通解为.再求所给方程的特解由于是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去得比较系数,得于是所