2016数学考研二阶线性微分方程的解法

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1、2016数学考研二阶线性微分方程的解法考研数学如何取得高分？以下老师为各位M学整理了提高考研数学成绩的技巧，供大家参考，希望能对大家S习备考冇帮助！考研数学复习足建立在对基本的东W很深刻的理解的基础上的，单纯多做题可能会多见识一些题型，但对于一些很灵活有新意的题目就可能无法应对，这和点石成金的故事是一样的道理。而这种能力的培养却米自于老老实实地将®础打牢，这一点上要摒弃那种急功近利的想法，不论是考研还是成就一赉事业，要想成功，首先要沉得住气，柯一个长远的打算，而不是做一天算一天，同吋要善于控制事情发展的节奏，不论人快抑或人慢都不好，你都得去考虑为什么会这样，怎样去解决。一个人不

2、论处于顺风还是逆风，都要学会不断的去跟&己出难题，不断地去反楫&己，&己主动把握&己的命运，他才能最后成功。在忙碌的考研复习屮，或许你正在忙于人景的复习知识，或许你己投入无尽的题海，或许你还在为一道道题而苦恼，或许你还在W为复习不见成效时沮丧。但是，不知忙于埋失S习的你有没有发现，不是你的能力不够强，而足你对如何习还不熟练。我们的敁终R的是提高习效果，提高复习效果的途径大致可以分为两种：一是调整数学整体的素质和能力，更好的驾驭考研;二是理解复习的每一个环节，掌握复4方法，将B己已杏的潜能和水平发挥到极致。在商等数学屮，经常会考查人家的一个知识点足关于二阶线性微分方程的解法，这一

3、部分内容相对来说考查大家的形式是多种多样的，讨以直接给！h—个二阶微分方程让大家求解，也可以放在应用中也就是通过给出关系列ili微分方程后求解等等，不管是哪种解法，实质上考查人家的就足对于这种方程的求解。卜*面，我们简单介绍一下二阶线性微分方程的解法。首先，我们介绍二阶线性微分方程的基本概念:形如/+P(x)y+0(x)v=/(x)(1)的微分方程，我们称之为二阶线性微分方程。当/(x)=0时，，+尸(x)y+0(x)＞，=O(2)称为三胶胃u微分方程；否则称为三阶a充次线性微分方。考试过程中主要考查大家的是P(x)，2(x)恒为常数的情形，这种情况下，该方程称为赏系i线性微分

4、方程，相应的齐次方程称为赏系数齐次线性微分方程。H系数齐次线性微分方程的一般形式为/+p/+gy=0.根据二阶线性微分方程解的结构定理，我们可以知道齐次方程和非齐次方程之间是有关:系的：1、若M(X)为方程(1)的解，h(x)是为(2)的解，则y=h(x)+y2(x)为⑴的解.若乃(x)，y2(x)均为(2)的解，贝什二乃⑼—乃⑻是⑴的解.2、设乃(x)sy2(x)是方程(2〉的两个线性无关的解，/(x)是(1)的任一特解，贝ijv=Cw(x)+C2＞，2(x)+yx)是⑴的通解、其中C2为两个任意的常数.所以我们知道解二阶微分方程，不管是齐次还是非齐次方程，都需要先求出齐次

5、方程的通解，对于非齐次方程而言，只要再求出來一个特解就可以得到它的通解了，所以解的结构定理为我们求二阶非齐次微分方程提供了一个思路。对于二阶齐次线性微分方程，它的解题步骤是很固定的，方法如下：1、写出z^py'+处=0对应的特征方程r2+pr+g=0-2、求出特征方程的两个根r1;r2.3、根据的不同形式，我们有如下的公式：r2+pr+g=0的两个根r2微分方程/+外，'切y=0的通解为两个不同实根v=C/iX+C2eriX为两个相同实根y=(QC2x)e'x~&为一对共轭复根a±f/7y=(Qcos>5x+C2sin所以对于非齐次方程而言，我们只需要求出一个特解就可以了，这也

6、是我们解‘阶韭齐次微分方程的一个关键点。在求特解的时候，特解是根据/(X)设出来，在我们设特解的时候需要遵循以下几个原则，1、特解＞，•(》与/(x)是同类，即若/(x)为n次多顶式O)，则y•(%)也为n次多顶式巧(x);若/(x)为三角函数，则Z(x)也为三角函数；2、补齐，简单说就是若/0)=户办)，则，⑻二〜+平+即^+…+^3^;若/(x)=三角函数，则ZOOwcosx+bsinx;3、考虑是否为重根的情况，此时可参看下表：/(X)的形式条件所设特解的形式巧(X)为心欠多顶式0不是特征根y=RnM(尽(x)为幻欠多项式)0是特征方程的单根y*=xRn(x)0是特征方程

7、的重根y=x2Rn(x)/(x)=^P,(x)cc不是特征根y^=eaxRn(x)«是特征方程的单根CC是特征方程的重根y=xV%(x)=^[P(x)cos^x+P(x)sin^x]不是特征根y*=(R,.(x)cos>5x+么(x)sin(3x)(k=max{ws«},St(x)为A:次多项式)是特证裉v*=xe^(^R.(x)cos/?x+Sk(x)sin/7x)这部分的考试内容，大家一定要很熟练的掌握，特别是对于特解Z(X)的求角军，这也是很多考生感觉头疼的地方，大家一定要对这部分考点