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《例析向量试题的小题小做》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例析向量试题的小题小做江苏省海州高级中学(222023)刘希栋在数学教与学的过程中,小题大做与小题小做各有所长,但考试时小题大做在时间和精力等方面很不经济,应力求小题小做。下面通过例子介绍向量试题小题小做的方法和策略。一、巧妙运用对称性例1(2009安徽高考理科试题)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→,它们的夹角为120°。图1所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,则x+y的最大值是。解:以点O为原点,∠AOB的平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图2,则OC→=xOA→+yOB→=(32(x-y),12(x+y
2、)),又点C纵坐标最大值为1,故x+y的最大值是2。图1图2二、运用特殊化策略例2(2006湖南高考理科试题)如图3,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP→=xOA→+yOB→,则x的取值范围是;当x=-12时,y的取值范围是。图3图4分析:在OP→=xOA→+yOB→(OA→,OB→不共线)时研究实数对(x,y),可以判断无论不共线向量OA→,OB→的相对位置如何,结论都应该是确定的,因而可将向量OA→,OB→视作垂直的单位向量(特殊化),将问题置于平面直角坐标系中来研究。点P所在的区域如图4阴影部分(不含边
3、界)所示,其中直线OM的方程为x+y=0,直线AB的方程为x+y=1,实数对(x,y)满足的条件为x<0,y>0,0<x+y<1。x的取值范围是x<0;当x=-12时,y的取值范围是12<y<32。用同样的方法可快速解决下面的试题:例3(2010安徽江南十校)如图5,点P是线段OB及线段AB的延长线所围成的阴影区域(含边界)内的任意一点。且OP→=xOA→+yOB→,实数对(x,y)所表示的区域在直线y=4的下侧部分的面积是。解:按例2的处理方法,点P所在的区域即为图6所示,其中直线AB的方程为x+y=1,实数对(x,y)满
4、足的条件为x<0,y>0,x+y≥1。在直线y=4的下侧部分(图7)的面积是92。图5图6图7例4ΔABC中,OC→=14OA→,OD→=12OB→,AD与BC交于点M,设OA→=a→,OB→=b→。(1)OM→=(用a→,b→表示);(2)分别在线段AC、BD上取一点E和F,使EF过M,设OE→=λOA→,OF→=μOB→,则λ,μ满足的关系式为。解析:在向量OA→,OB→不共线的情况下,研究OP→=xOA→+yOB→中实数对(x,y),我们可以将问题置于平面坐标系中来研究。图8如图8,分别以OA,OB为x,y轴建立平面坐标系,(1)记点A(1,0),
5、B(0,1),依题意点C(14,0),点D(0,12),直线AD的方程为x+2y=1,直线BC的方程为4x+y=1,解方程组x+2y=1,4x+y=1,得x=17,y=37,点M(17,37),所以OM→=17a→+37b→。(2)由题意,知点E(λ,0),点F(0,μ),直线EF的方程分别为xλ+yμ=1,而EF过M点,所以,17λ+37μ=1,这就是所求λ,μ满足的关系式。需要强调的是:与向量夹角或模有关的问题(含向量数量积)不宜用该方法。