用数学方法解决物理问题的几个例子

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1、用数学方法解决物理问题的几个例子　　【摘要】运用数学知识对物理规律进行建模，通过计算实现分析问题、解决问题的目标　　【关键词】数学知识;物理规律;建模　　中图分类号：G633.6　　　　数学是研究物理学的重要工具，物理学是应用数学方法最充分、最成功的一门学科。在研究一些复杂的物理问题时，我们先根据物理规律建立方程，而在具体计算中往往运用数学中的比例、函数图象、三角函数、二次函数、一元二次方程根的判别式、对数、不等式、数列等知识，能顺利解决物理问题。　　一、用比例法　　例1．A、C两个运动员相互拉紧一根橡皮绳AC。如图1所示，信号发出后，A

2、以v=1m/s的速度匀速向东运动，而C则向南做匀加速运动，假设绳子上的结点B正好通过D点，计算运动员C的加速度是多少？　　　　　　　　　　10　　　　　　解：ΔAKF和ΔEDF相似，有，又A、C两运动员拉的是一根橡皮条，则,解得　　例2．如图3所示，细绳a的一端固定在杆上C点，另一端通过定滑轮用力拉住，一重物用绳B挂在杆BC上，杆可绕B点转动，杆、细绳的质量及摩擦均不计，重物处于静止。若将细绳a慢慢放下，绳a的拉力F1大小如何变化，杆所受到的压力F2大小如何变化？　　　　　　　　　　　　　　　　解：对C点进行受力分析如图4所示，设AB＝H

3、，BC＝L，AC＝S，阴影部分所对应的　　两个三角形相似，就有　　　　因为L不变，所以F2不变。10　　解后语：这是培养学生把物理问题转化为数学问题的能力。使学生克服乱代乱套公式，把自己数学能力物理化，提高学生解决问题的能力，即对问题方向进行大致推测，并把将要采取的方法与问题的目标联系起来，对解决问题的可行性进行判断，从而可以避免走弯路或不必要的失误。　　二、三角函数法　　例3．一质点自倾角为α的斜面上方的定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑。如图5所示，为使质点在最短时间内从O点到斜面，则斜槽与竖直方向间的夹角β为多大？　　解：所以。又因

4、为a=gcosβ,则　　在t的表达式中，β是个变量，OP的长度随着β角的不同而发生变化。遇到类似的问题，在讨论一个量与另一个量之间的变化关系时，不能直接得出结论，原因在于它们的关系式中还隐含着一个随某一量变化的问题。方法如下，从O点向斜面作垂线，并设O点到斜面的距离为L（不变）　　那么，利用积化和差公式　　2cosβcos(β-α)=cosα+cos(2β-α)　　因为cosα是定值，所以cos(2β-α)＝1时，cosβcos(β-α)最大，则　　例4．一只质量为m木箱静止在水平地面上，木箱与地面间的动摩擦因数为μ。现给木箱加一斜向右上

5、方的拉力F，使木箱沿水平地面做匀速直线运动。问：拉力F与水平地面间的夹角多大时，所加的拉力最小，并求该最小值。　　解：对木箱受力分析如图6所示，设拉力F与水平方向成α角，把拉力F进行正交分解。　　因木箱做匀速直线运动，有Fcosα=μ(mg-Fsinα)得10　　，　　（其中，θ为锐角）　　当sin(α+θ)=1时，即时，F有最小值，最小值　　三、二次函数及判别式法　　例5．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m。当两球心间的距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于L时，

6、两球间存在相互作用的恒定斥力F，设A球从远离B球处以速度v0沿两球心连线上向原来静止的B球运动，如图7所示，欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件？　　　　　　　　　　　　　　解：对A有，对B有，从几何关系可得：故，可见，d是关于t的二次函数。当时,。当v0时，是A球追B球，A、B两球之间的距离减少；　　当v0时,B球远离A球运动，它们之间的距离开始增大，要使A球在追B球的过程中，两球不相碰，应是故。10　　例6．如图9所示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（

7、q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ，θ为锐角。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率(重力加速度为g)。　　解：据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O′。P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力F和磁场的洛仑兹力　　f＝qvB①　　式中v为小球运动的速率，洛仑兹力f的方向指向O′。　　根据牛顿第二定律Fcosθ-mg=0②③　　由①②③式得　　④　　由于v是实数，必须满足≥0⑤　　由此得B≥⑥　

8、　可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为　　⑦　　此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为⑧　　由⑦⑧式得⑨　　四、利用基本不等式　　例7．电阻是0.3Ω的外电阻，用6个蓄电