矩阵三角分解的若干方法

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1、矩阵三角分解的若干方法　　摘要：一般的文章或教材没有全面地给出矩阵三角分解的方法，本文给出了矩阵三角分解的定义，提出了若干新的方法，举例说明结果的有效性．　　关键词：矩阵；三角分解　　【中图分类号】G642　　1引言　　矩阵三角分解是线性代数的基本分解方法之一，对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文研究了三角分解的概念及矩阵三角分解的主要方法，并给出实例说明了结果的有效性.　　2矩阵三角分解基本概念　　定义2.1设,如果存在下三角矩阵和上三角矩阵,使得,则称可作三角分解或分解.　　定义2

2、.2设为对称正定矩阵,为行列式不为零的任意对角矩阵,则,为一个单位上三角矩阵,且有成立：　　1)如果是单位下三角矩阵,是对角矩阵,是单位上三角矩阵,则称分解为分解；　　2)如果是下三角矩阵,而是单位上三角矩阵,则称三角分解为克劳特分解；　　3)如果是单位下三角矩阵,为上三角矩阵,则称三角分解为杜利特3分解；　　4)如果,称为不带平方根的乔累斯基分解；　　5)如果,,则,由于,则,称为带平方根的乔累斯基分解.　　3矩阵三角分解的若干新方法　　3.1杜利特分解　　设为阶方阵,如何确定和这两个三角矩阵呢

3、,设,其中,，按矩阵的乘法,有　　,　　由于,所以有,，故得,　　，同理，,，即得到和.　　3.2克劳特分解　　设为阶方阵,有分解式,当时（下三角位置）,有　　,得　　,,，当时（上三角位置）,有　　,,，得　　,,.这样即可得到和.　　3.3乔累斯基分解　　设为对称正定矩阵,存在一个实的非奇异下三角矩阵,且的对角元素为正时,有惟一的分解式，当时,有,也即,.　　例3.1求三阶方阵的分解与分解.　　解因为　　,,3　　所以有唯一的分解和分解，且　　,　　由可计算及如下:,，于是　　　　因此的分解为

4、　　　　且的分解为　　　　参考文献　　[1]北京大学数学力学系.高等代数[M].北京高等教育出版社,1978.　　[2]张凯院,徐仲.矩阵论[M].北京:科学出版社,2013.　　[3]方保?.矩阵论[M].北京:清华大学出版社,2004.　　[4]HornRA,JohnsonCR.MatrixAnalysis[M].CambridgeUniversityPress.1989.　　3