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1、§4矩阵的三角分解nn×矩阵的三角分解定理：设A∈R,如果A的前n-1个顺序主子式det()A≠0,in=−1,2,",1，i则A可分解为一个单位下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L和U(1)(2)()idet()A=≠aa""a0,i=1,2,,n−1ii1122i−1LAU=，A=LU10"0(1)(1)(1)⎡⎤⎡aa"a⎤11121n⎢⎥⎢(2)(1)⎥L=⎢⎥m2110"U=⎢0aa22"2n⎥⎢⎥##"#⎢####⎥⎢⎥，⎢⎥mm"1()n⎣⎦
2、nn12⎢⎣00"ann⎥⎦2．唯一性：分A非奇异和奇异两种情况来证（1）A非奇异考虑到A的前n-1个顺序主子式非零，得det()Ai≠0,in=1,2,",设A=LU11=LU22，L12,L为单位下三角矩阵，UU12,为上三角矩阵。因A非奇异，所以U1可逆，从而−11−LLUU=2121−−11⇒=LLEUU=2121−−11(,因LL为单位下三角阵UU为上三角阵)2121⇒=LLUU,=2121（2）A奇异因det()Ai≠0,in=−1,2,",1，det(An)=0()i()n⇒≠=ai0,1,2,",n
3、−1，a=0iinn设A=LU11=LU22，L12,L为单位下三角矩阵，UU12,为上三角矩阵。对它们进行矩阵分块，得(1nn−−)(1)(1n−)(1nn−−)(1)(1n−)⎛⎞LU00⎛aLU⎞⎛⎞⎛a⎞111222⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟(1nn−−)(1)⎝⎠ma1110⎝⎠⎝⎠ma2210⎝⎠其中(1nn−−)(1)LL12,为n-1阶单位下三角矩阵，(1nn−−)(1)UU12,为可逆的n-1阶上三角矩阵(1nn−−)(1)(1nn−−)(1)(1nn−−)(1)(1nn−−)(1)⎛⎞LULa⎛⎞LUL
4、a11112222⇒=⎜⎟⎜⎟(nn−−1)(1)(nn−−1)(1)(nn−−1)(1)(nn−−1)(1)⎝⎠mUma++a⎝⎠mUmaa1111122222(1nn−−)(1)(1nn−−)(1)由LU11=LU22(1nnnn−)(1−−)(1)(1−)⇒=LLUU,=2121(1nn−−)(1)(1nn−−)(1)⇒=aa(1nn−)(1−)由La11=La2221(1nn−)(1−−)(1nn)(1−)⇒=mm(1nn−)(1−)由mU11=mU2221(1nn−−)(1)(1nn−−)(1)⇒=aam
5、a+ama=+a由22211121故L=LUU,=2121证毕。注：（1）上述定理的三角分解A=LU称为杜利特尔(Doolittle)分解，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。（2）在上述定理的条件下，A亦可有如下的分解A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，这种分解称为克劳特(Crout)分解。（3）若A=LU，则Axb=的解可经如下步骤容易地求出1）对Lyby=,求；2）对Ux=y,求x（4）若det()A≠0，则存在一个置换可逆矩阵P，使得PAL=U§5解三对角线方程组的追赶法一、三对角线方程组
6、的含义设Axf=，如果⎡⎤bc11⎢⎥abc⎢⎥222⎡f1⎤⎢⎥%%%⎢⎥⎢⎥=⎢f2⎥Aa=⎢⎥iiibcf⎢⎥%%%⎢#⎥⎢⎥,⎢⎥⎢⎥abcnnn−−−111⎣fn⎦⎢⎥ab⎣⎦nn且系数矩阵A满足下列条件（1）
7、
8、
9、
10、0bc11>>（2）
11、
12、
13、
14、
15、
16、(bacaiiii≥+cii≠=0,2,3,,1"n−)（3）
17、
18、
19、
20、0bann>>则称A为三对角阵，称Axf=为三对角线方程组。二、三对角线方程组的求解（一）定理：设Axf=为三对角线方程组，则（1）A是非奇异矩阵；（2）A的所有顺序主子式都不为零，即det
21、()A≠0,in=1,2,",i证明：用数学归纳法，略。注：该定理表明，三对角阵可以进行三角分解，并且根据三对角阵的形状，它的三角分解的形状还有特殊性，事实上有⎡⎤bc11⎢⎥abc⎢⎥222⎢⎥%%%⎢⎥abc⎢⎥iii⎢⎥%%%⎢⎥⎢⎥abcnnn−−−111⎢⎥ab⎣⎦nn⎡⎤α1⎡1β1⎤⎢⎥⎢⎥γα1β=⎢⎥22⎢2⎥⎢⎥%%⎢%β⎥n−1⎢⎥⎢⎥⎣⎦γαnn⎣1⎦（二）求解方法：追赶法1．三角分解A=LU⎧β=cb/111⎨⎩ββ=−cba/(),i=2,3,",n−1iiiii−1γ==ai,2,3,
22、,"niiα=−baiβ,2=,3,,"niiii−1α=b112．求解Lyf=⎧yfb=/111⎨⎩yfa=−()ybai/()−β,=2,3,",niiiiii−−11i3．求解Ux=y⎧xy=nn⎨⎩xyxinn=−β,1=−−,2,",2,1iiii+1追：β12⇒⇒⇒ββ""nn−1,yy12⇒⇒⇒y赶：xxnn⇒⇒⇒⇒−12"xx1§6解对称正定
