谈化归思想在高中数学教学中的运用

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1、谈化归思想在高中数学教学中的运用　　摘要：化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。本文就化归思想在高中数学教学中的运用来谈数学思想在数学教学中的重要性。　　关键词：高中数学，化归思想，数学素养　　【中图分类号】G633.6　　　　化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。我们尝听人说过，一旦离开学校进入社会，早先学过的那些数学知识就都忘光了，但是那些解决问题的数学思想却可以铭记一生。因此，本文想就化归思想在高中数学教学中的运用谈

2、一谈数学思想在数学教学中的重要性，以培养学生的数学思想，来达到人人学需要的数学，人人都在数学中得到发展的数学教育的终极目标。　　一、化归思想的涵义　　所谓化归，即是转化和归结的简称，是指在研究和解决数学问题时采用某些手段将繁复生疏的问题转化为简单熟悉的问题，从而使问题得到解决的方法。化归的基本功能是生疏化为简单，复杂化为简单，抽象化为直观，含糊化为明朗。“鸡兔同笼”的问题是化归思想解题的典型案例，“鸡兔同笼：笼中有头50，有足140，问鸡、兔各有几只？”5传统解法自然是设未知数，列方程组，但是应用化归法，我们完全

3、可以口算出答案。想象鸡和兔分别只用一半的下肢站立，那么笼中共有脚70只，此时一头鸡对应一只脚，而每多一只兔就多一只脚，现笼中脚比头多70-50=20，即有兔20头，则有鸡30头。　　二、高中数学教学中化归思想应用的常见类型　　1、等价变换　　所谓等价变换就是指通过对问题的条件或结论进行对应性的转换，使问题再变换中既保持等价又能逐步简化，从而使问题得到解决。对几何图形来说，可以指导学生也可以通过运用几何变换方法，将图形的形状、大小等加以等价变换，如下题。　　例1（2011年湖南理科）在ABC中，角A,B,C所对的边

4、分别是，且满足，求的大小。　　分析：由正弦定理，可将等价变换为，所以，，因在ABC上，，所以=。　　本题重点考查的是学生对正弦定理的应用，因正弦定理的标准形式是，引导学生理解正弦定理的实质是反映三角形内角与所对应的边之间的关系，当两遍关系已知时，可将公式变形，得到，，，则有，顺利实现边边关系向角角关系的等价转换。从例题出发，教师要引导学生多对公式进行等价转换，引导学生从另一个层面认识公式、定理。　　2、正与反的转化　　从条件出发进行推理并得出结论是我们通常进行的解决问题的顺序，称正面求解。但有时，不能直接从正面求

5、解时，不妨引导学生从思考未知量入手，即问题的条件或结论，通过反面求解达到目的。所谓“5正难则反”，“避繁就简”就是这个道理，如下题。　　例2设集合S={1,2，…，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3-a2＜6，那么满足条件的子集A的个数是（）　　分析：从集合S中任选3个构成的集合A有=84个，从已知条件出发，符合条件的集合A很多，推理不易，不妨从条件的反面入手。即按从小到大的顺序排列后a3-a2≥6，满足条件的集合A只有{1,2,9}，{1,2,8}，{1,

6、3,9}，{2,3,9}4个，因此满足题中条件的集合A有80个。　　3、高维向低维的转化　　高维向低维的转化思想，广泛用于解决立体几何问题。因为，三维是建立在二维基础上进一步研究空间图形问题，在研究立体几何问题遇到困难时，将其划归为平面几何问题，可以化难为易，如下题。　　例3在正三棱锥V-ABC中，侧棱长为2，且∠AVB=∠BVC=∠CVA=，从点A作一截面，使截面与VB、VC相交于E、F两点，求截面AEF周长的最小值。　　　　分析：问题求截面AEF周长的最小值，即才点A出发绕侧面一周回到点A的最短距离，在三维空

7、间想象有困难，但若沿三棱锥侧棱VA剪开后展开（如上图），则问题变为求平面图形中点A到A＇连线的距离。从图中不难看出，在RtVAA＇中，AA＇=VA=2。　　4、数与形的转化　　数学家华罗庚认为:“数缺形时少直观,形缺数时难入微。”5说的就是在研究数学问题的时候，数形结合思想的重要性。所谓数形结合，简单地说其实就是数学中两个最基本的对象代数与几何之间的转化。解析几何的创立，将几何问题转化为代数问题，通过计算达到证明目的的方法，这本身就闪烁着化归思想的光芒，是数学史上的里程碑。因此，在解析几何教学中，要尤为注重培养学

8、生数形转化的能力，如下题。　　例4在等腰直角三角形ABC中，∠C=,P为AB上任意一点，求证：

9、AP

10、2+

11、BP

12、2=2

13、CP

14、2。　　分析：这是一道几何问题，需要证明的问题本身是个等式，若用坐标法转化为代数问题，求解更加简便。分别以AC和BC所在直线作x轴和y轴，令C点为原点，设A（a，0），B（0，a），C（0,0）。令运动点P为（x，y），则

15、AP

16、2+

17、BP

18、2=