试谈一节基于合作的《正弦定理》教学案例

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2、一节公开课《正弦定理》，这是一节为后续内容作知识和策略准备的单元起始课。笔者通过研读教材，并在结合教材的基础上，从实际理由出发，引出数学理由，采用了实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，将教学重点放在定理的形成，证明的探究及定理的基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。以下是笔者本节课的教学实录及一些深思，愿与同行磋商。　　一、教学过程实录　　（一）创设情境，激发热情　　教师：请同学们看……（ppt给出材料，学生深思）　　某游览风景区，欲在两山之间架设一观光索道，需要测量两山之间A，B两点的距离，现在已选定1km的基线AC，并在A点处测得

3、∠BAC=28°，在C点处测得∠ACB=100°，如何求得A，B两点间的距离？　　教师：这个实际理由可以转为怎样的数学理由？　　学生：可以转化为解三角　　形理由，已知三角形的两角一　　边，求另一边。　　即在△ABC中，已知∠A=28°，∠C=100°，b=1，求AB=？　　教师：根据我们已有的知识，这个理由能不能解决？　　学生：可以的，过点C作CD⊥AB，在Rt△ACD中求出CD和AD，再在Rt△BCD中求出BD，从而求出AB。　　（二）回顾知识，夯实双基　　教师：很好.三角形中已知边和角求未知的边和角，你们是有基础的.可以转为我们初中学过的直角三角形

4、中去解决。　　那么请问：直角三角形中有哪　　些边角关系？如图，在Rt△ABC中，　　设C=90°，三条边分别是a，b，c，　　三个角分别是A，B，C，那么边角之　　间有哪些关系？　　学生：sinA=■，sinB=■，sinC=1（板书），cosA=■，cosB=■　　教师：角A的余弦值其实就是角B的正弦值，因此余弦可以转为正弦。　　学生：tanA=■，tanB=■。　　教师：正切可以用正弦和余弦来表示。　　教师：请大家观察sinA=■，sinB=■，sinC=1这3个式子，从数学美观角度来看，你觉得应该怎么操作？　　学生：应该把角C的正弦值1改写成■，

5、这样我们就可以得到c=■，c=■，c=■，从而就有■=■=■。　　教师：很好，我们在直角三角形中找到了■=■=■这样一个关系式，这个式子在任意三角形中成立吗？如何去验证？　　（三）实验验证，完善猜想　　学生1：我们可以画一个三角形，度量它的三边和三角，再去计算。　　学生2：找个特殊三角形去验证，比如等边三角形，发现它是成立的。　　教师：下面我们借助几何画板一起进行验证。　　■　　教师：我们通过转变三角形的形状，你能发现什么？能得到什么猜想？　　学生：于是我们猜想：对于任意三角形ABC，都有■=■=■。　　（四）证明探究，得出定理　　教师：这就是我们这堂

6、课要研究的正弦定理：对于任意三角形ABC，都有■=■=■（板书）.那么刚才我们进行了验证，但验证不能代替证明，如何证明正弦定理呢？大家可以相互之间讨论讨论。　　学生进行充分讨论深思（5分钟），教师请4位学生上黑板写出证明过程（10分钟）。　　4位学生分别通过以下途径证明：　　学生1：转化为直角三角形的边角关系；　　学生2：借助于三角形面积公式；　　学生3：通过三角形外接圆，将任意三角形理由转化为直角三角形理由；　　学生4：利用向量的数量积。　　4位学生结合自己的板书分别讲解证明思路.教师进行追问。　　与学生1对话：　　教师：你解题的思路是什么？　　学生

7、1：转化，转化为直角三角形（板书）中去解决。　　教师：为什么要分3种情况进行讨论？　　学生1：通过作高转为直角三角形时，发现垂足位置可以有3种不同情况，因此要进行讨论。　　与学生2对话：　　教师：你的思路是什么？　　学生2：借助于三角形的面积公式证得结论。　　教师：三角形面积公式是底乘高除以2，现在高怎么得到？　　学生2：任意三角形可以去作高，最终转为直角三角形。　　与学生3对话：　　教师：借助于三角形的外接圆证得结论，仍然是需要将其转化为直角三角形来解决。同时，通过这个证明思路，你能否发现■=■=■的比值是什么？　　学生3：比值是2R（R是外接圆的半

8、径）。　　与学生4对话：　　教师：你怎么想到用向量策略去证明的？　　学生4：我们所学的知识中向