一节基于合作探究《正弦定理》教学案例

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1、一节基于合作探究《正弦定理》教学案例　　笔者于2013年3月5日面向南京市全体高一教师开设了一节公开课《正弦定理》，这是一节为后续内容作知识和方法准备的单元起始课。笔者通过研读教材，并在结合教材的基础上，从实际问题出发，引出数学问题，采用了实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，将教学重点放在定理的形成，证明的探究及定理的基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。以下是笔者本节课的教学实录及一些思考，愿与同行磋商。一、教学过程实录（一）创设情境，激发热情教师：请同学们看……（ppt给出材料，学生思考）某游览风景区，欲在两山之

2、间架设一观光索道，需要测量两山之间A，B两点的距离，现在已选定1km的基线AC，并在A点处测得∠BAC=28°，在C点处测得∠ACB=100°，如何求得A，B两点间的距离？教师：这个实际问题可以转为怎样的数学问题？学生：可以转化为解三角形问题，已知三角形的两角一边，求另一边。9即在△ABC中，已知∠A=28°，∠C=100°，b=1，求AB=？教师：根据我们已有的知识，这个问题能不能解决？学生：可以的，过点C作CD⊥AB，在Rt△ACD中求出CD和AD，再在Rt△BCD中求出BD，从而求出AB。（二）回顾知识，夯实双基教师：很好.三角

3、形中已知边和角求未知的边和角，你们是有基础的.可以转为我们初中学过的直角三角形中去解决。那么请问：直角三角形中有哪些边角关系？如图，在Rt△ABC中，设C=90°，三条边分别是a，b，c，三个角分别是A，B，C，那么边角之间有哪些关系？学生：sinA=■，sinB=■，sinC=1（板书），cosA=■，cosB=■教师：角A的余弦值其实就是角B的正弦值，因此余弦可以转为正弦。学生：tanA=■，tanB=■。教师：正切可以用正弦和余弦来表示。教师：请大家观察sinA=■，sinB=■，sinC=1这3个式子，从数学美观角度来看，你觉

4、得应该怎么操作？9学生：应该把角C的正弦值1改写成■，这样我们就可以得到c=■，c=■，c=■，从而就有■=■=■。教师：很好，我们在直角三角形中找到了■=■=■这样一个关系式，这个式子在任意三角形中成立吗？如何去验证？（三）实验验证，完善猜想学生1：我们可以画一个三角形，度量它的三边和三角，再去计算。学生2：找个特殊三角形去验证，比如等边三角形，发现它是成立的。教师：下面我们借助几何画板一起进行验证。■教师：我们通过改变三角形的形状，你能发现什么？能得到什么猜想？学生：于是我们猜想：对于任意三角形ABC，都有■=■=■。（四）证明探

5、究，得出定理教师：这就是我们这堂课要研究的正弦定理：对于任意三角形ABC，都有■=■=■（板书）.那么刚才我们进行了验证，但验证不能代替证明，如何证明正弦定理呢？大家可以相互之间讨论讨论。学生进行充分讨论思考（5分钟），教师请4位学生上黑板写出证明过程（10分钟）。4位学生分别通过以下途径证明：9学生1：转化为直角三角形的边角关系；学生2：借助于三角形面积公式；学生3：通过三角形外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题；学生4：利用向量的数量积。4位学生结合自己的板书分别讲解证明思路.教师进行追问。与学生1对话：教师：你解题的思路

6、是什么？学生1：转化，转化为直角三角形（板书）中去解决。教师：为什么要分3种情况进行讨论？学生1：通过作高转为直角三角形时，发现垂足位置可以有3种不同情况，因此要进行讨论。与学生2对话：教师：你的思路是什么？学生2：借助于三角形的面积公式证得结论。教师：三角形面积公式是底乘高除以2，现在高怎么得到？学生2：任意三角形可以去作高，最终转为直角三角形。与学生3对话：9教师：借助于三角形的外接圆证得结论，仍然是需要将其转化为直角三角形来解决。同时，通过这个证明思路，你能否发现■=■=■的比值是什么？学生3：比值是2R（R是外接圆的半径）。与

7、学生4对话：教师：你怎么想到用向量方法去证明的？学生4：我们所学的知识中向量可以同时刻画长度和角度。教师：你怎么想到在向量式■=■+■的两边同时点乘■？学生4：向量式转为数量式想到数量积.我要证的式子■=■中没有边a，而边a与向量■有联系，为了消去■，想到与■垂直的向量，所以作BC边上的高。教师：要证的式子中是角B和角C的正弦，而数量积得到的是余弦，怎么办？学生4：通过诱导公式化余弦为正弦。（五）理解定理，基本应用教师：这样，我们对正弦定理进行了证明.那么我们回到本节课一开始提出来的问题，能用今天的正弦定理解决吗？学生：直接利用■=■

8、求得。教师：已知角B，C和边b，可以求出另一边c.正弦定理还能解决什么问题？学生：已知两边一对角，求其余的边和角。　　教师：很好。请同学们课后自己出题尝试。9（六）课堂小结，归纳提升教师：本节课我们有什么收获？学生：通过