概率论与数理统计试题(1)

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1、哈工大2009年概率论与数理统计试题一、填空题（每题3分，共计15分）1．若事件满足，则______.2.已知，则都不发生概率为.3．设r.v的概率密度为，对进行三次独立重复观察，用表示事件出现的次数，则___.4．已知一批零件长度，从中随机地抽取9个零件，得样本均值则的置信度为0.95的置信区间是5．设相互独立，且都服从区间的均匀分布，则.二、单项选择题（每题3分，共计15分）1．设为两个事件，，且，则一定成立（A）；（B）；（C）；（D）．【B】2．设三个事件两两独立，则相互独立的充分必要条件是（A）与独立；（B）与独立

2、；（C）与独立；（D）与独立.【C】3．设r.v独立同分布，，则下列r.v中服从均匀分布的是（）.（A）；（B）；（C）；（D）.【A】4．设随机变量服从参数为3的泊松分布，~，且，根据切比晓夫不等式有：（A）.（B）.（C）.（D）.【B】5．设是总体~的样本，是样本均值，是样本方差，为样本的二阶中心矩，则【D】（A）.（B）.（C）是的无偏估计.（D）.三．（10分）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球

3、，求该球是白球的概率？解：设“取出的一个球是白球”，再设“取到了第箱”，.3分则由全概率公式有7分四、（10分）设二维随机变量的概率密度为，试求随机变量的分布函数与概率密度.解：（1）=，，所以，相互独立同分布，。利用卷积公式：的概率密度为，使被积函数不为0的积分区域：6分4分（2）利用分布函数方法当时当时6分4分五、（10分）已知随机变量和分别服从和，且和的相关系数，设，（1）求和（2）求解：（1）==5分（2）于是,故，5分六、（14分）．设总体的概率密度为，而为来自总体的简单随机样本.求：（1）未知参数的矩估计和极大似

4、然估计；（2）讨论上述估计的无偏性。解：(1)参数的矩估计:，所以参数的矩估计。4分参数的极大似然估计:似然函数为求对数求导数，令其为零，得似然方程：解似然方程得：，故参数的极大似然估计为。8分(2)因为，所以是的无偏估计。2分七（6分）设且独立，求。解：（1），又是定义与同一个样本空间上的随机变量，利用全概率公式：4分（2）有一个间断点（）（）2分（，)