两类下降的非线性共轭梯度法的全局收敛性 毕业论文外文翻译

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1、附录Ⅰ中文译文两类下降的非线性共轭梯度法的全局收敛性王开荣，刘金魁(重庆大学数理学院信息与计算科学系，重庆，400030)摘要：本文基于文献[1]中提出的一类共轭梯度法，提出了两类新的非线性下降共轭梯度法。此两类算法能始终保持充分下降性，这一性质与算法所采用的线性搜索无关；对于一般的非凸函数，此两类算法在Wolfe线搜索条件下具有全局收敛性。关键词：无约束最优化；共轭梯度法；充分下降性；Wolfe线搜索；全局收敛性中图分类号：O224AMS(2000)文章类别：65H10；9OC26文献标识码：A文章编号：1001—9847(2008)04-0656-05本文的目的是在非精确线搜索下研究无

2、约束优化问题的两类新的非线性下降共轭梯度法的全局收敛性。考虑无约束优化问题，（1）其中连续可微且梯度为。共轭梯度法求解（1）式的迭代公式：　（2）（3）其中,是搜索步长，是搜索方向，是一参数。参数的不同形式分别构成了FR，PRP共轭梯度法，它们分别为：其中是欧几里得范数。共轭梯度法的收敛性证明，通常使用非精确线搜索，如Wolfe线搜索和强Wolfe线搜索。Wolfe线搜索要求满足：，（4），（5）其中。强Wolfe线搜索要求满足（4）式和，（6）其中。本文中提出了两类新的共轭梯度法，并用Wolfe线搜索证明了新方法的全局收敛性。于高航、赵艳林、魏增鑫提出了一种新的非线性共轭梯度公式其中（在

3、本文中，我们把与有关的方法称为NCG法）。在Wolfe线搜索下证明了NCG算法具有全局收敛性。基于公式，本文提出了两类新的下降共轭梯度法：（7）（8）其中。为下降方向如果满足，，（9）其中是正常数，（9）式表明共轭梯度法的全局收敛性。大多数文献证明了（9）式成立。定理1根据（2）式和（3）式，若，满足非精确线搜索，则对于任意的（10）证明若或，对于，由（3）式得否则，由（3）式和得由可知对于任意的，（9）式成立。定理2根据（2）式和（3）式，若，满足非精确线搜索，则对于任意的（11）证明采用数学归纳法证明因为且，所以当时，结论成立。假设当（，）时，结论成立。只需证明时，结论仍成立。若对于，

4、或，则由（3）式得否则，由（3）式、和得鲍威尔定理证明了。基于充分下降的条件，Gilbert和Nocedal在Wolfe线搜索下证明了修正的PRP方法：具有全局收敛性，在新的公式中，同样证明了任一条件下。由的定义得由的定义和（11）式得为了证明新方法的全局收敛性，目标函数满足以下假设：假设（H）ⅰ）是有界集合，是初始点。ⅱ）是的子集，连续可微且其梯度满足Lipchitz连续，即，存在常数使得，（12）由假设（H）可知，存在常数使得，（13）用来证明非线性共轭梯度法全局收敛的引理最初是由Zoutendijk给出，通常被称为Zoutendijk条件。引理1假设（H）成立，在迭代公式（2）和（3

5、）中满足，，满足Wolfe线搜索，则（14）引理2假设（H）成立，在迭代公式（2）和（3）中，满足Wolfe线搜索和（9）式，若存在常数使得，(15)则，可得。若令，则也可得引理3假设，（16）当或满足（*）式1）存在常数，使得；2）存在常数，使得。证明由（7）式和（16）式得定义，令，再由（12）式和（16）式得由（8）式、（9）式和（16）式得定义，令，再由（12）式、（11）式和（16）式得引理4假设（H）成立，设和由（2）和（3）式迭代产生，满足Wolfe线搜索和（9）式，若使得（*）式和（15）式成立，则、和存在使得，其中，表示的量。引理5假设（H）成立，设和由（2）和（3）式迭

6、代产生，满足Wolfe线搜索和（9）式，若使得（*）式成立，则。引理2、引理4和引理5的证明在文献[9]中已给出，通过上述定理和引理，可得以下新方法的收敛结论。定理3假设（H）成立，设和由（2）和（3）式迭代产生，满足Wolfe线搜索和（10）式，由（7）式表示，则定理4假设（H）成立，设和由（2）和（3）式迭代产生，满足Wolfe线搜索和（11）式，由（8）式表示，则参考文献[1]YuGaohang，ZhaoYanlin，WeiZengxin．Adescentnonlinearconjugategradientmethodforlarge-scaleunconstrainedoptimi

7、zation[J]．AppliedMathematicsandComputation，2007，183：636~643．[2]FletcherR，ReevesC．Functionminimizationbyconjugategradients[J]．ComputerJournal。1964，7：149～154．[3]PolakE，RibireG．Notesulfaconvergencededirectionsconjug