不等式问题的处理策略与解决技巧

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1、不等式问题的处理策略与解决技巧不等式是数学中的主要内容之一，是每年高考必考的热点内容，几乎涉及整个高中数学的每个部分。高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。　　不等式这部分内容在高考中通过两方面考查，一是单方面考查不等式的性质、解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导

2、数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生的数学素质及创新意识。　　不等式问题的处理方式是高中数学对逻辑推理能力要求较高的内容，是数学中的一个难点，再加之不等式问题题型灵活多变，涉及面较广，最近几年的高考试题明显加大了对不等式内容的考查力度。本文通过几道例题，来说明不等式问题的处理策略。　　例.已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当-1≤x≤1时，

3、f（x）

4、≤1　　（1）求证：

5、c

6、≤1（2）当

7、x

8、≤1时,

9、g（x）

10、≤2（3）设a>0,当-1≤x≤1时，g（x）的最大值为

11、2，求f（x）.　　证明：（1）由条件知：

12、f（0）

13、=

14、c

15、≤1　　（2）∵g（x）=ax+b为一次函数，∴要证：

16、g（x）

17、≤2，则只需证

18、g（-1）

19、≤2，

20、g（1）

21、≤2而

22、g（1）

23、=

24、a+b

25、=

26、f（1）-c

27、≤

28、f（1）

29、+

30、c

31、≤2.

32、g（-1）

33、=

34、a-b

35、=

36、f（-1）-c

37、≤

38、f（-1）

39、+

40、c

41、≤2　　当

42、x

43、≤1时，

44、g（x）

45、≤2　　评注：本题是有较高的难度，它主要考查：　　1.一元一次、一元二次函数的最值及单调性，绝对值不等式等诸多知识。　　2.推理论证能力，运算难力。　　3.灵活运用知识解题综合问题的能力

46、。　　方法总结与2012年高考预测　　（一）方法总结　　1．熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式的解法，二元的重要不等式及应用，不等式的常用证明方法。　　2．数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的结构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。　　（二）2012年高考预测　　在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题，不仅考查不等式的

47、基础知识、基本技能、基本方法，而且还考查了运算能力，分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。　　由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等式知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。　　（单位陕

48、西省榆林育才中学）