选择公理谬误

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1、选择公理的错误选择公理形式一：对任意的关系R，存在一个函数F，F是R的子集，而且F和R的定义域相等。形式二：给定由两两无交的非空集合构成的一个集合族Ａ,存在一个集合ｃ，使得ｃ与Ａ的每一个元素恰好有一个公共元，即对于每一个ａ∈Ａ，集合ｃ∩ａ包含着唯一的一个元素。其它形式就不抄了。我不能用一个数学的方式来证明，只能用文字陈述的方式来说明它的错误。用个简单的例子，由无穷多个非空集合组成一个集族Ａ（集合的集合），从每一个ａ∈Ａ中选择一个元素来组成一个集合ｃ。感觉是“可能的”，因为所有ａ都是非空集，它至少存在一个元素可以让我们这么做。然而，这样的集合ｃ是不存在的或者说这样的集合是没有意义

2、的。因为，选择公理的实质就是选择。选择是个动作事件（请允许我这么描述），它附带另一个特性：经历时间，尽管一个选择可以在瞬间完成，但始终需要一个历程来完成。ｃ是被甄选出来的元素组成的。关键是你必须选。无论怎么选，都必须去选，一次选一个或者两个，当然可以更多。然而，集族A是无穷的，且每一个a∈A非空，因此你将永远处在选择的行为之中，就是永远无法完成选择。那么被选上的x∈a将它放到一起组成c，c是怎么样的呢，c的成员不断在增多，且永远持续下去，所以c就不是一个集合。尽管集合没有一个确切的定义，但它有明确的特征，在ZF公理系统里，外延公理:一个集合完全由它的元素所决定。两个集合Ｘ和Ｙ，

3、对于所有的Ｘ和所有的Ｙ，Ｘ=Ｙ当且仅当对于所有的ｚ，ｚ∈Ｘ当且仅当ｚ∈Ｙ。ｃ不符合这一公理，ｃ一直在变动，我们无法得知接下来被选来的是那个或者那些。当然，还可以这样想：一次就从所有的集合ａ（ａ∈Ａ）里，都选出某个元素ｘ来组成ｃ，这样就完成了所有选择，ｃ就被确定了。事实上，这样选根本等于没选。打个比方，设想有一个国家它很文明，人民富有，善良，乐于布施。他们知道其他国家有个人处在分文没有的困境中正需要帮助，于是都决定捐赠些钱给那人，但谁都没有说明自己要捐多少和什么时候捐，那个人得知受捐赠之事，然后他觉得自己很富有，就去购物。不用想结果就是他什么都买不到。那个人认为自己富有就如同上面

4、认为ｃ集合存在一样。上面那个想法等价于这个认为：在每一个集合ａ（ａ∈Ａ）中，有一个元素x（x∈ａ）将被选取出来放在一起组成集合ｃ。那么，现在从某个ａ中那一个元素ｘ1来。这个ｘ1它是“将被选取”的那个元素ｘ吗，也就是说ｘ1属于ｃ吗？很明显，我们不知道，我们既不能说它属于，也不能说它不属于。而对于一个集合来说，任一个事物是否属于一个集合，回答是确定的。ｃ不是集合，它是思维直觉出来的东西，它没有意义或者说它不会有实在的用途。在ＺＦ公理系统里，有个并集合公理：对任意的集合ｘ，存在一个集合ｙ，它的元素恰好是ｘ的元素的元素。集合ｙ似乎也是一个拼组成的集合，有“经历时间”之嫌，会不会也是不存

5、在的呢。不是。它和前面讨论的集合ｃ不同，这个集合我们可以一步拼组成。事实上，我们根本不需要对集合做什么拼组，只要把集合ｘ的元素的元素都称做ｙ的元素就行。因为ｘ是集合，所以ｙ是确定的，存在的。在有限次选择的情况下，选择公理是没有异议的，大家都认可，有限次选择是可以一步一步完成的。如有谬误，敬请斧正。