直线与圆锥曲线的位置关系——交点个数问题

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1、直线与圆锥曲线的位置关系——交点个数问题：本文分析了直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法，指出可通过代数方法，即解方程组的办法来研究其位置关系。　　关键词：直线；圆锥曲线；位置关系；研究方法　　　　直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究，因为交点的个数与方程组解的个数是一样的。　　例1：抛物线方程为y2=p（x1）（p＞0），直线xy=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边。求证：直线与抛物线总有两个交点。　　点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种，一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线，另一种是与双曲

2、线相切的直线也有两条。　　例3：直线y=2k与曲线9k2x2y2=18k2x（k∈R，且k≠0）的公共点的个数为（）　　（A）1（B）2（C）3（D）4　　解：将y=2k代入9k2x2y2=18k2x，得：9k2x2４k2＝１８k2x。?圯9x2-18x4=0，显然该关于x的方程有两个正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。　　点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。　　直线与圆锥曲线有几个公共点的问题，归纳如下：设直线l：AxByC=0，圆锥曲线：f（x，y）=0，由Ax

3、ByC=0f（x，y）=0，消元（x或y），若消去y，得a1x2b1xc1=0。　　（1）若a1=0，此时圆锥曲线不是椭圆，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合。　　（2）若a1≠0，Δ=b12-4a1c1，则：　　①Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，有两个不同的交点；　　②Δ=0时，直线与圆锥曲线相切，有唯一的公共点；　　③Δ<0时，直线与圆锥曲线相离，没有公共点。　　【责编郭晓莉】