也探一类等差数列问题的解法

《也探一类等差数列问题的解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、也探一类等差数列问题的解法　　在数学的解题教学中，有些教师热衷于“一题多解”.笔者以为，一题多解是一把双刃剑，运用得好则可充分展示数学的魅力且极大地提高学生的学习兴趣，另一方面，它却又有可能使课堂教学低效甚至无效.因此，如何指导学生探究通法常法，应是校本研修的一个重要课题.　　先看下面的两个问题.　　问题1：已知两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且AnBn=7n+45n+3，则a5b5=.　　问题2：已知两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且AnBn=7n+45n+3，则a5b6=.　　这是《中学数学教学参考》（

2、2010?7（上旬））上的两个问题，也是高三复习时常见的一类等差数列的问题.先看下面的三种解法.　　解法1：设等差数列{an}、{bn}的首项和公差分别为a1、d1和b1、d2，则它们的前n项和分别为　　An=na1+n2（n-1）d1=n2[d1n+（2a1-d1）]，　　Bn=nb1+n2（n-1）d2=n2[d2n+（2b1-d2）]，　　∴AnBn=d1n+（2a1-d1）d2n+（2b1-d2）=7n+45n+3，观察此式的分子和分母，不妨设d1=7k，则d2=k，2a1-d1=45k，2b1-d2=3k（此处k为比例系数，可以是某个常数或整式），

3、可得　　a1=d1+45k2=7k+45k2=26k，5　　b1=d2+3k2=k+3k2=2k，　　∴a5b5=a1+4d1b1+4d2=26k+4×7k2k+4×k=9，　　a5b6=a1+4d1b1+5d2=26k+4×7k2k+5×k=547.　　解法2：设等差数列{an}、{bn}的首项和公差分别为a1、d1和b1、d2，等差数列{an}的前n项和公式An=na1+12n（n-1）d可以看做是变量n的二次函数，由AnBn=7n+45n+3，不妨直接设An=kn（7n+45），Bn=kn（n+3），　　则a1=A1=52k，b1=B1=4k.　　∴A

4、2=a1+a2=2k（7×2+45）=118k，a2=118k-a1=66k，B2=b1+b2=2k（2+3）=10k，b2=10k-b1=6k，　　得d1=a2-a1=66k-52k=14k，d2=b2-b1=6k-4k=2k.　　∴a5b5=a1+4d1b1+4d2=52k+4×14k4k+4×2k=9，　　a5b6=a1+4d1b1+5d2=52k+4×14k4k+5×2k=547.　　解法3：在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq，特别地，2an=a1+a2n-1，∴a5b5=2a52b5=a1+a9

5、b1+b9=92（a1+a9）92（b1+b9）=A9B9=7×9+459+3=9.　　但是，此解法只能解决问题1，若用来解决问题2定会出错：a5b6=2a52b6=a1+a9b1+b11=92（a1+a9）112（b1+b11）×119=119×A9B11=119×7×9+4511+2=667，　　问题出在第5个等号，把已知条件“AnBn=7n+45n+3”当成“AnBm=7n+45m+3”.5　　反反复复地研读这三种解法，思量着解法1和解法2中的某些步骤实在是非常精妙，而解法3又太巧太特殊了，它又只能解决问题1.然而，“老师，这些解法怎么这么难啊！”“老

6、师，这些解法怎样想得到啊？”“老师，这些解法怎样记得住啊？”“这些学生怎么搞的？这些内容、方法我都讲了多少遍还是没有掌握.”这些声音在数学课堂上、在数学教师之间恐怕没少听到吧.我们教研室正在做一个课题研究：山区农村学校校本研修的有效策略研究.研究校本研修的有效策略，探索山区农村学校校本研修的基本方式和基本方法，目的是提高教师的素质和专业水平，促进教师的专业发展，加强山区农村学校的教师队伍建设，推进山区农村学校的课程改革，最终提高教育教学质量.2010年颁布和实施的《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010―2020）》，对教师提出了更高的要求，高中的新课程

7、标准也将在广西全面开展实施，这是一个教育的转型时期.但是，无论什么时候，“教什么”，“怎么教”，总是每一个教师必须面对的问题.因此，要有效地提高课堂教学质量，还必须把设计“教师如何教”转变为设计“学生如何学”，使有效教学与高效学习相结合，这也是新的课程改革对教师教育的新要求.　　李海良老师有一篇文章是《读着并困惑着》[《中学数学教学参考》（2010?7（上旬））.李老师认为，一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何一节课（一道题）是可以教（解决）得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个教学（解答），而且在任何的情况下

8、，我们总能提高自己对这个教学（解答）的理解水平.文中