浅谈函数定义域的重要性

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1、浅谈函数定义域的重要性　　函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域看似简单，然而在解决问题中如果不加以注意，常常会走入误区。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。　　一、函数关系式与定义域　　函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。如：　　例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S

2、与矩形长的函数关系式？　　解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x(50-x)，故函数关系式为：S=x(50-x)。　　如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

3、题的影响。否则思维缺乏严密性。　　二、函数最值（极值）与定义域5　　函数的最值（极值）是指函数在给定的定义域区间上取到最大（小）值（极大（小）值）的问题。如果不注意定义域，将会导致最值（极值）的错误。如：　　例2：求函数y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。　　解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4　　∴当x=1时，ymin=-4　　初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照定义域为R，求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生了变化

4、。　　对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：　　（1）当-■q时，y=f(x)在[p,q]上单调递减，函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）当p≤-■≤q时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。　　故本题还要继续做下去：　　∵-2≤1≤5∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3f(5)=52-

5、2×5-3=12∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12　　∴函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。　　这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，数形结合才可以解决问题。　　解决求函数极值问题，情形类似，不再赘述。5　　三、函数值域与定义域　　函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：　　例3：x∈-■,■,求函数y=2sin(2x+

6、■)的值域.　　错解：值域y∈[-2，2]　　正解：设t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2　　函数值域为[-■,2]　　剖析：如果没有分析定义域，不注意换元后变量的取值范围，很容易出现错误。　　四、函数单调性与定义域　　函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，单调性是函数的局部性质，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：　　例4：指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单

7、调区间。　　解：先求定义域：　　∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2　　∴函数定义域为(-∞，-2)∪(0,+∞)．　　令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上时，u为减函数，　　在x∈(0,+∞)上时，u为增函数。　　又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函数，　　∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0,+∞5)上是增函数。即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞)，单调递减区间是(+∞,-2)。　　本题需要在定义域的两个区间上分别考虑函

8、数的单调性，否则就是对函数单调性的概念一知半解，没有理解。教师在指导学生做练习或作业时，不能只套用同增异减原则，而不去让领会解题方法的实质，否则学生的数学思维很难打开。　　五、函数奇偶性与定义域　　笔者在教学中总结函数奇偶性的判断时，总是强调“一个前提”：考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。如：　　例5：判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．　　解：∵2∈[-1,3]而-