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1、再谈复合函数定义域问题安徽省淮南市第十中学陈勇（邮编：232052）发表于贵刊2013年第1期的文［1］,第3期文［2］,探讨了复合函数的定义域问题.笔者并不赞同文［2］的一些观点,特以此文来谈谈笔者对该类问题的认识和看法.对于复合函数定义域问题,主要有两种题型:(1)已知的定义域,求的定义域.流行解法:求出(为的定义域),且(为的定义域)时的取值范围,即为定义域.(2)已知的定义域,求的定义域.流行解法:由的定义域得出的值域,即为的定义域.笔者认为,题型(1)的流行解法是正确的.在2013年高考中,全国大纲卷理科第4题就考查了该题型.而对于题型(2)的流行解法,笔
2、者并不赞同.这也是文［1］,文［2］争论的焦点所在.为了更好地说明该问题，笔者给出中学数学与大学数学对于复合函数两种不同的定义方式.在中学数学教材里,对于复合函数是这样定义的:一般地,对于两个函数和,如果通过变量可以表示成的函数,那么称这个函数为和的复合函数,记作.显然这里只是粗略地介绍了复合函数的定义，并没有明确指出定义域与的定义域间关系.中学教师在解释这两者关系时，一般是这样处理：把中的“”及中的“”看作是对应法则作用的对象,同一对应法则作用对象的范围相同.即认为=的值域就是的定义域.笔者认为,这样解释是完全错误的.我们再看大学教材对复合函数的定义.在大学数学教
3、材里,对于复合函数是这样定义的:一般地,若函数的定义域为,而函数的定义域为,值域为,并且包含在内,也就是说,函数的值域不超过函数定义域的范围.那么对于内的每一个值,经过中间变量,相应地得到唯一确定的一个值.于是经过中间变量而成为的函数,记为.这种函数称为复合函数.显然在这里明确指出,函数=的值域不能超出函数定义域2.而不是两者相等.为了使读者更好地理解这个问题，下面看几道例题.例1看下表表示的复合函数.abc123Yuf此时复合函数的定义域是,函数的值域是,而的定义域是,显然函数的值域是的定义域的子集.例2若,它的定义域=.再设,此时复合函数为=,其定义域为,这时的
4、值域是,它显然是的子集.再看文［1］,文［2］一道颇有争议的例题..例3若,它的定义域为.再设,由两者复合而成的函数=的定义域为,这时的值域是,它显然是的子集.而文［2］的作者认为函数的定义域不能取非正数,这显然是错误的.因为根据函数解析式求出的定义域为,这一点是无容置疑的.通过上面的例子说明:已知的定义域,并不能唯一确定的定义域.由的定义域得到函数的值域只能是定义域的子集.值得欣慰的是现行教材已淡化了这方面的要求,高中教师也没必要对此内容进行拓展延伸了.参考文献1.胡如松.几类有关函数定义域［J］.中学数学教学,2013(1)2.何业亮对“几类有关函数定义域”的多
5、处质疑［J］.中学数学教学,2013(3)3.陈传璋数学分析［M］北京:高等教育出版社,19834.普通高中课程标准试验教科书（人教A版选修2-2）［M］.人民教育出版社,2007(作者:陈勇地址:安徽省淮南第十中学联系电话:13855402593邮箱:chenyong19781217@sohu.com)2
