高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

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1、~高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设，则有(倒序积和)（乱序积和）（顺序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或

2、时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记。不等式的意义：当时，S达到最大值.因此，首先证明必须和搭配，才能使S达到最大值.也即，设且和某个搭配时有（1-1）事实上，不等式（1-1）告诉我们当时，调换和的位置（其余n-2项不变），会使和S增加.同理，调整好和后，再调整和会使和增加.经过n次调整后，和S达到最大值，这就证明了.再证不等式左端,··~由及已证明的不等式右端，得即.例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c是正数，求证：.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设，则有根据排序不等式有：以上

3、两式相加，两边再分别加上有即故.例2设a,b,c，求证：.思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设，则且根据排序不等式，有两式相加除以2，得··~再考虑，并且利用排序不等式，两式相加并除以2，即得综上所述，原不等式得证.例3设，而与是的两个排列.求证：.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令（r=）显然因为，且由排序不等式又因为所以且（注意到0）··~故故原式得证.2.均值不等式定理2设是n个正数，则称为均值不等式.其中，　，，　，　分别称为的调和平均数，几何平均数，算

4、术平均数，均方根平均数.证明：先证.记，令，则原不等式其中取使则由排序不等式，易证··~下证因为]所以　　.从上述证明知道，当且仅当时，不等式取等号.下面证明对n个正数，应用，得即（等号成立的条件是显然的）.例4已知，求证：.证明：由于，，有从而下证，即。又因为，等号在x=(这时y=)时取得所以　　　　　　.例5（IMO）设a,b,c是正实数，且满足abc=1.证明：··~证明：令，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为（2-1）记，注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术—几何平

5、均不等式同理可证，，于是即，（2-1）式得证.例6已知，且.求证：.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为，对，利用有··~即所以.3．柯西不等式定理3设，（i=1,2,…n）,恒有不等式，当且仅当时，等式成立.构造二次函数证明当或时，不等式显然成立令，当中至少有一个不为零时，可知A>0构造二次函数，展开得：故的判别式移项得，得证。向量法证明令.则对向量有，由，，得当且仅当，即平行时等号成立。数学归纳法证明i)当n=1时，有，不等式成立

6、。当n=2时，··~因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设n=k时不等式成立，即当且仅当时等号成立。那么当n=k+1时，当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是n=k+1时不等式成立。由i)ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西—拉格朗日恒等式由实数性质可得柯西不等式成立。以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。··~柯西不等式的推广

7、命题1若级数收敛，则有不等式。证明：收敛，收敛，且从而有不等式成立。命题2[3]若级数收敛，且对有，则对定义在上的任意连续函数有不等式证明：因为函数在区间上连续，所以函数在上可积，将区间n等分，取每个小区间的左端点为，由定积分的定义得：令，则收敛，由柯西不等式得从而有不等式。赫尔德不等式[4]··~设满足则：，等号成立的充分必要条件是证明：首先证明时，对任何正数A及B，有.对凹函数有：令代入以上不等式并对于，把这n个不等式相加.即成立。等号成立的充分必要条件是：即例7设，求证：.