不等式解题方法.doc

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1、不等式解题方法一、活用倒数法则巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b与<等价。此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如：（1998年高考题改编）解不等式loga(1-)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1->a,即<1-a,∵a>1,∴1-a<0,<0,从而1-a,同号，由倒数法则，得x>;当0

2、00,>0,从而1-a,同号，由倒数法则，得11时,x∈(,+∞)；当0

3、

4、a

5、-

6、b

7、

8、≤

9、a±b

10、≤

11、a

12、+

13、b

14、。这里a,b既可以表示向量，也可以表示实数。当a,b表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a与b共线；当a,b表示实数时，有两种情形：（1）当ab≥0时，

15、a+b

16、=

17、a

18、+

19、b

20、,

21、

22、a-b

23、=

24、

25、a

26、-

27、b

28、

29、;(2)当ab≤0时，

30、a+b

31、=

32、

33、a

34、-

35、b

36、

37、,

38、a-b

39、=

40、a

41、+

42、b

43、.简单地说就是当a,b同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如：若1<<,则下列结论中不正确的是（）A、logab>logbaB、

44、logab+logba

45、>2C、(logba)2<1D、

46、logab

47、+

48、logba

49、>

50、logab+logba

51、分析：由已知，得0

52、logab

53、+

54、logba

55、=

56、logab+lo

57、gba

58、，∴D错。[答案]D注：绝对值不等式是一个十分重要的不等式，其本身的应用价值很广泛，但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论，因此利用等号成立的条件（a,b同号或异号）是解决这一类问题的一个巧解。13/13三、“抓两头看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法（1）解不等式（组）的本质就是对不等式（组）作同解变形、等价变换。（2）多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否

59、不画数轴直接就可得出解集呢?下面的方法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定，即先将同向不等式“合并”（求交集），此时“小于小的，大于大的”；最后余下的两个异向不等式，要么为空集，要么为两者之间。如解不等式组:,先由③④(同>)得x>0(大于大的);再由①②(同<)得x<1(小于小的);再将x>0与x<1分别与⑤作交集,由x>0与⑤得0

60、不等式组成的不等式组也在此列），这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法：“抓两头看中间”！如：,先比较a,b,c,d四个数的大小，如ad（即抓两头）；再看x>b与x

61、b∈R)①；a+b≥2(a,b∈R+)②.均值不等式是高考的重点考查内容，但其基本公式只有两个，在实际解题时不是很方便。若能对均值不等式进行适当变形，那么在解题时就能达到事半功倍的效果。下面的一些变形式在解题时就很有用，不妨一试。当然你也可以根据需要推导一些公式。如：(1)a2≥2ab-b2③;是将含一个变量的式子，通过缩小变为含两个变量的式子，体现增元之功效，当然反过来即是减元；(2)≥2a-b④;(a,b>0)13/13是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解:求证：（1）a

62、2+b2+c2≥ab+bc+ac;(2)++≥a+b+c.(a,b,c>0)（析：（1）由a2≥2ab-b2得b2≥2bc-c2,c2≥2ac-a2,三式相加整理即得；（2）∵≥2a-b∴同样可得另两式，再将三式相加整理即得）。(3)ab≤()2⑤;利用不等关系实现两数和与两数积的互化；(4)⑥;(a,b>0)利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化；注：涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题，利用⑤、⑥两式可以使其中的