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《不等式之基本解题方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、數學傳播31卷2期,pp.38-61不等式之基本解題方法張福春·李姿霖摘要:在數學中經常要比較有興趣的各種量之大小,因此就需要藉助不等式的運算。證明不等式的技巧多樣化,且方法不一。本篇論文主要介紹數學競賽中常見的基本不等式,與探討證明不等式時經常使用的解題方法。關鍵詞:不等式、公理、三一律、遞移律、加法律、乘法律、解題方法、算幾不等式、柯西不等式、排序不等式、柴比雪夫不等式、布奴利不等式、三角不等式、詹森不等式、變數代換法、數學歸納法、放縮法、因式分解法、配方法、比較法、反證法、變形法、幾何法。美國數學
2、會2000年分類索引:主要26D。一.前言數學是以公理和定義為基礎,經過證明而得到定理。而不等式的基本公理(axiom)只有下面四個:假設a,b,c皆為實數。公理1(三一律,trichotomyaxiom):則a,b只可能有下面關係之一種:a>b,ab且b>c,則a>c。公理3(加法律,additiveaxiom):若a>b,則a+c>b+c。公理4(乘法律,multiplicativeaxiom):若a>b且c>(<)0,則ac>(
3、<)bc。由上面的公理及其他的數學性質,我們可以推演出所有不等式的定理。不等式與各個數學分支都有密切的關係,其理論很早就被大數學家Gauss,Cauchy等人著重研究,而Hardy,LittlewoodandP´olya(1988)及MarshallandOlkin(1979)等名數學家也相繼投入探討。我們可以說數學分析,不論是純理論或應用方面,都需要不等式的運算。38不等式之基本解題方法39而不等式的證明之所以有趣,主要是因為其證明技巧靈活多樣,且證法常因題而異,沒有固定的程序,尤其是各類數學競賽中不
4、等式的問題。嚴鎮軍(2002)利用50講來討論高中數學的範疇,每一講皆是獨立的主題,且皆舉出與主題有關的例子講解概念,其中介紹了證明不等式的基本方法和技巧與常用著名的不等式與例子。但其證明不等式的例子大多技巧性非常強,初學者讀來可能有些困難。而嚴鎮軍(1993)討論初中的數學問題,分成代數、幾何與解題方法,其中證明不等式的例子較簡單一些。Rusczyk在ArtofProblemSolving網頁中,收錄了許多的數學問題,包括代數學、組合學、幾何學、不等式、數論等,有些不等式的題目已解決有答案了,而有些還
5、在待解中,其中不乏有國際奧林匹克數學競賽(InternationalMathematicsOlympic簡稱IMO)的題目,與世界各國數學競賽的試題。但若要搜尋世界各國的競賽試題,則可連結到Scholes的Mathsproblems網頁,這個網頁以各國家舉辦的數學競賽試題作分類,蒐集了約4100題奧林匹克題目與1700題其他的問題。本篇論文探討常用不等式的證明方法,從簡單的例子循序漸進,瞭解基本概念後,再綜合應用到較艱澀的例子。在第二節先介紹一些數學競賽中常用著名的基本不等式,而其證明請參見附錄A。第三
6、節列舉出基本的解題方法與例子。因為很多不等式的證明不只會用到一個基本不等式或一種解題方法,因此第四節我們將舉出一些例子,這些例子會多次應用到第二節提到的基本不等式與第三節的解題方法做綜合應用。二.常用基本不等式首先介紹不等式常出現的兩種形式:對稱不等式與齊次函數。當不等式有對稱或齊次的性質時,可假設一限制條件,這對解題會有很大的幫助,這樣的技巧經常使用。定義2.1(對稱不等式):考慮一包含a1,a2,...,an的不等式,若將任兩個變數ai與aj(i6=j)位置交換,都不會改變此不等式,則稱不等式有對稱
7、性。由於對稱不等式中,各變數的地位相同,因此可將變數排序。例如假設a1≥a2≥···≥an。常用於排序不等式的問題。定義2.2(齊次函數):設k∈N為變數個數,對一固定的實數n,t∈R,若滿足f(ta,ta,...,ta)=tnf(a,a,...,a),則函數f稱為n次齊次函數。12k12k當n=0時,稱f為零次齊次函數,且對任意實數t,皆有f(ta1,ta2,...,tak)=f(a1,a2,...,ak)。因此若a1+a2+···+ak6=1,令其和為s6=0,即a1+a2+···+ak=s,則a1
8、+a2+···+ak=1。且滿足sssa1a2akf,,...,=f(a1,a2,...,ak).sss40數學傳播31卷2期民96年7月所以當f為零次齊次函數時,可假設a1+a2+···+ak=1。接下來介紹一些常用著名的基本不等式:算幾不等式、柯西不等式、排序不等式、柴比雪夫不等式、布奴利不等式、三角不等式、詹森不等式。2.1.算術、幾何與調和平均不等式(arithmetic-geometric-harmonicinequal-it
