【精品】高中理科数学解题方法竞赛篇(解析几何)

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1、高中数学解析几何问题研究（第十四届高二第二试第18题）译文：点M是椭圆98上一点，点F是椭圆的右焦点，点P（6,2）,那；3

2、MF

3、-MP的最大值是，此吋点M的坐标是22e=—为（1,0）,禺心率aq2=9,沪=8,则=1,椭圆的右焦点F的坐标所以右准2）在—解在椭圆982I:x=—=9线。，显然点P(6,椭圆98的外部.过点P、M分别作PG丄/于G,MDJJ于D,过点P作PQ丄MD于Q,由椭圆的定义知,3

4、MF

5、-

6、MP

7、=

8、MD

9、-

10、MP

11、^

12、MD

13、-

14、MQ

15、=

16、QD

17、=

18、PG

19、=9-6=3,当且仅当点P位于线段MD上，即点P与Q点重合吋取等

20、号.由点P位于线段MD上，MD丄/及点P（6,2）,知点M%o41丄3血1=]兀（）=±的纵坐标为2,设M的横坐标为*0,即M（兀0,2）,贿98,解得2,因此+3V23

21、MF

22、-

23、MP

24、的最大值是3,此时点的坐标是（一2,2）.评析若设点M的坐标为（x,y）,则可将3

25、MF

26、-

27、MP

28、表示成x、y的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3

29、MF

30、-

31、MP

32、转化为

33、

34、MD

35、-

36、MP

37、，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展将此题引伸拓广，可得22——+—1（。>b>0）定理M是椭圆E：

38、db~上的动点，F是椭圆E的一个焦点，c为椭圆E的半焦距，P（m,n）为定点.1a2—I7J若点P在椭圆E内，则当F是右焦点时，+的最小值是c；当F是左焦—F777点时,e

39、MF

40、+

41、MP

42、的最小值是c若点P在椭圆E外，贝IJ2aF是右焦点，且OWmWca2F是右焦点，且m>c,2Wb时，Imp卜幺a2inMF的最小值是ca2F是左焦点，且cWmWO,Wb时，丘2aF777MF-

43、MP

44、的最大值是ca2F是左焦点，且mWcWb时，MP1a2——772—eIMF

45、的最小值是c1a2—/?2Wb时,

46、MF

47、-

48、MP

49、的最大值是c丄简证1、如图1,作M

50、N丄右准线1于N,PQ丄1于Q,由椭圆定义，

51、MN

52、"

53、MF

54、・・•・

55、MF

56、+

57、MP

58、=

59、MN

60、+

61、MP

62、>

63、PQ

64、=ca2m,当且仅当P、M、qM煮共线，且M在P、QZ间时取等号•如图2,同理可证£

65、MF

66、+

67、MP=

68、MN

69、+

70、MP

71、^

72、PQ

73、=ce

74、MF

75、-

76、MP

77、=

78、MN

79、-

80、MPW

81、MN

82、-

83、MR

84、=

85、RNa2Fin,当且仅当P、队Q三点a2tnI二

86、PQ

87、二c,当且仅当P位于线段MN上，即P与R重合吋取等号.如图£图4

88、MP

89、—e

90、mf

91、=

92、mp

93、-

94、mn

95、^

96、mq

97、-

98、mn

99、=

100、NQ

101、=当且仅当P位于直线MN上,即点P与Q重合时取等

102、号.m_如图5,]_me

103、MF卜

104、MP

105、二

106、MN卜

107、MP

108、W

109、MN卜

110、MR

111、二

112、RN

113、二

114、PQa2mI二C,当且仅当P位于线段MN上，即P与R重合吋取等号.如图6MP

115、-e

116、MF

117、=

118、MP

119、-

120、MN

121、^

122、MQ

123、-

124、MN

125、=

126、NQa2—m

127、=c,当且仅当P位于直线MN上，即点P与Q重合时取等号.题2己知双曲线^2-y2=k关于直线x-y=l对称的曲线与直线x+2y二1相切,则k的值等于()A、4B、3C、4D5(第十五届高二培训题第19题)22/解设点P(xO,yO)是双曲线兀=“上任意一点，点P关于直线x-y二1的对称点为兀+兀0y+)‘o=]『

128、_儿=_iI”(X,y),则22—①，又X-兀()②，解①、②联立方程组得0=y+i③.・・・p点在双曲线X2~y2=k±,A4-yl=k④.③代入④，得(y+l)2_(—l)2寸⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y二1,得x二l-2y',代入⑤并整理，得43y2-2y+k-l=0由题意，△二4-12(k-1)二0,解得k=3,故选B.评析解决此题的关键是求出对称曲线的方程•由于对称曲线与直线和切，故由△二0便可求得k的值.拓展关于直线的对称，我们应熟知下面的结论1、点(xO,yO)关于x轴的对称点是(xO,-yO)・关于y轴的对称点是(-xO,y

129、O)・关于y二x的对称点是(yO,xO)・关于y二-x的对称点是(-yO,-xO).关于y二x+m的对称点是(yO-m,xO+m).关于y二-x+n的对称点是(n-yO,n-xO)・关于直线Ax+By+C二0的对称点是(x,y),x,y是方程组2、占(xO,yO)3、点(xO,yO)4、点(xO,yO)5、占八、、(xO,yO)6、占八、、(xO,yO)7、占八、、(xO,yO)AX,«22A(yQ-yl)=B(

130、是f(y-m,x+m)=O.则+的最小值是.(第四届高二第二试第15题)2?a。_a——y2=1解双曲线X~3>，=3,即3,如图，双曲