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1、高中数学竞赛解题方法研究冷岗松著清华大学出版社内容简介本书是作者多年组织数学竞赛辅导中积累的经验总结,对中学生解竞赛题的思维方式、解题方法及技巧作了详细的讲解,并用大量典型例题的分析,侧重讲述解数学竞赛题的思维活动过程。书中讲述了大量国内外典型竞赛题的解法,可使高中学生从中学习如何解竞赛题,提高解题的能力。此书可作为高中数学竞赛的辅导教材,也可供各中学数学教师、师范院校师生及数学竞赛的辅导员参考。(京)新登字158号高中数学竞赛解题方法研究冷岗松著责任编辑尹芳平☆清华大学出版社出版北京清华园清华大学
2、印刷厂印刷新华书店总店科技发行所发行☆开本:787×10921/32印张:12字数:257千字1993年10月第一版1993年10月第1次印刷印数:00001—10000ISBN7-302-01323-3/O·145定价:8.50元前言奥林匹克数学是以竞赛为标记,以“问题和解”为形式的数学,是将现代数学的深刻思想与初等数学的精妙技巧相结合的“中间数学”,是一种富有教育功能的“有用数学”,是富有挑战性的“活数学”。因此,奥林匹克数学空前繁荣。数学奥林匹克活动正在广大的范围内深入地发展。面对成千上万、千
3、姿百态的数学竞赛试题,“怎样解题”一直是广大中学师生最为关心的问题。本书有别于以内容划分专题的各类竞赛教程,通过大量实例的分析,侧重讲述解数学竞赛题的思维活动过程。全书共分四章。第1章阐述解数学竞赛题的思维方式;第2章论及数学竞赛中的基本解题方法;第3章总结了解答各类典型问题的方法和技巧;篇幅较短的第4章主要适用于教练员和教师,提出了数学竞赛的若干命题策略。全书适合广大高中师生,师范院校数学系学生阅读。本书是作者在数学竞赛的教练和教学工作中发展起来的,并从众多的竞赛书刊中吸收了大量营养。但囿于作者的
4、学识和水平,书中的错漏之处在所难免,祈盼读者不吝指正,以便有机会再版时修改。张硂教授审阅了全书并提出了宝贵的修改意见,在此致谢。冷岗松1993年3月于长沙·Ⅰ·目录第1章数学竞赛中的解题思维方式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11.1观察特征⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11.2特殊化与一般化⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯101.3类比⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯201.4等价变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯311.5分解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯361.6从反面看问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5、⋯⋯42第2章数学竞赛中的解题方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯482.1奇偶分析法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯482.2同余法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯572.3无穷递降法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯722.4递推方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯832.5有序化方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯952.6复数方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1092.7染色方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1212.8对应方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1332.9对称分析法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1
6、432.10极端情况分析法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1592.11不变量分析法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1692.12逐次副近法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯180·Ⅲ·第3章数学竞赛中的典型问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1933.1含参变数不等式恒成立问题的探究⋯⋯⋯⋯1933.2不等式最优常数的寻求和判断⋯⋯⋯⋯⋯⋯2043.3几何不等式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2133.4组合数学中的三大原理及应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯2403.5解对策问题的策略⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2633.6几何变换在解竞赛题中的应用⋯⋯
7、⋯⋯⋯⋯2713.7空间问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2823.8多项式问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3013.9集合问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3133.10凸包原理及应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3243.11数学竞赛中的图论方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯334第4章数学竞赛试题的若干命题策略⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯351·Ⅳ·第1章数学竞赛中的解题思维方式数学问题的形式千变万化,结构错综复杂,特别是一些难度较大的国内外竞赛题,不仅题目新颖,知识覆盖面大,而且背景深刻,技巧性强,个别问题的解,独到别致。
8、因此,与解常规数学题(被简单化和舞台化了)相比,解竞赛题要求解题者有良好的数学素质,即不仅要掌握一些必备的基础知识,而且要求有正确的解题思维方式。本章介绍数学竞赛中一些常用的解题思维方式,并通过若干典型例题的分析和讨论加以具体说明。1.1观察特征观察问题的特征,抓住与解题有关的种种信息(有些还是十分隐蔽的信息),是解题获得成功的首要条件。所谓观察特征,就是要运用已有的知识和经验,对问题的条件和结论的外形结构特点,数值特点,差异特点,图形的形状、位置特点等等,进行仔细的
