关于函数连续性的讨论

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1、关于函数连续性的讨论　　[摘要]函数的连续性对微积分学习非常重要，要掌握好函数的连续就要掌握函数连续的定义、连续与间断的关系、以及连续函数的一些结论等，只要掌握了这些，对函数连续性问题的研究就基本能够解决。　　[关键词]函数连续的定义连续与间断的关系连续与极限的关系　　在生产实践中，我们经常会遇到连续变化的问题，如河水的连续流动、气压的连续变化等，这些连续变量都各自对应着一个连续函数，在微积分中，函数的连续性也是学习中的一个重点和难点，现从下面几个方面予以讨论。　　一、连续性的几何直观性　　观察

2、一下函数和，当自变量发生微小变化时，能且仅能引起函数的微小变化，不会出现值跳跃和断裂的情况，如下图（1）、（2）所示，所以这些函数的图形是一条连续不断的曲线，这些函数也是连续函数。而函数如图（3）所示的情况就不同了，在其定义域内是连续的但在处没有定义，故在图（3）上处出现无穷大性间断，函数的图形在处发生断裂，就整个图形来看不是一条连续曲线，函数在处是不连续的。　　二、连续的定义及等价说法　　我们先看连续的定义：　　定义：若函数在点及其某邻域内有定义，存在，并且，则称函数在处连续。6　　否则称函数

3、在处不连续或间断。　　分析一下"定义"，因为在点及其某邻域内有定义，极限存在并且极限值就等于这点的函数值，即，也就是说当时，若令，　　，则有时，，即当充分接近时与相差任意小，这就表明函数在处连续，这样我们便得到了关于连续的等价定义。　　定义：若函数在点及其某邻域内有定义，在此点当自变量的改变量时，函数的改变量成立，则称函数在处连续。　　三、连续的对立面-间断　　函数在一点不连续或间断有两种情况，一种是在此点极　　限不存在，另一种是在此点极限虽然存在，但极限值不等于在此点的函数值或函数在此点无定义

4、。　　第一种情况又分两类，一是极限虽不存在，但左右极限存在，只是两值不相等，则称此点为第一类跳跃间断点。二是左右极限中至少有一个不存在，则称此点为第二类间断点，如函数，在处即为第二类间断点。　　对于那种极限存在但不连续点，此时只需修改或补充函数在这点的值就变为连续的了，称此类间断点为第一类可去间断点，如函数，即在处无定义，只需补充时，则函数在处就连续了。　　四、连续与极限的关系　　我们知道连续与极限有着极为密切的关系。　　1.连续的概念是以极限概念为基础的，离开极限就无法论述连续的定义。6　　2

5、.若函数在处连续，则在此点处必存在极限且。但它的逆命题不一定成立，及函数在一点存在极限，但函数在此点不一定连续。例如：，但函数在点时无定义，也不存在，所有不连续。因此函数在点连续和函数在点存在极限是两个完全不同的概念。　　五、怎样讨论函数的连续性　　1.按定义证明函数在某点连续　　例1.试证函数在处连续。　　证：显然在处及其邻域内有定义　　而　　故在处连续　　由例1可以看出按定义证明函数在某点连续的步骤是：　　（1）考察在及其邻域内是否有定义　　（2）求　　（3）计算　　（4）比较和是否相等，若

6、相等则在点处连续　　例2.试证在任意点连续。　　证：的定义域为　　若在任意点给予改变量，则函数的改变量为　　由点的任意性，根据连续的等价定义得证在任意点连续。　　由例2可看出按等价定义证明的步骤是：　　（1）考察在指定点（或闭区间）函数是否有定义　　（2）给以改变量　　（3）求出6　　（4）求的值　　（5）若，则函数在指定点（或闭区间）连续。　　类似上述证明，我们可以证得各类初等函数在其定义域内都是连续的，初等函数的这一重要性质，对于简化其极限运算及为方便。　　例3.计算。　　解：是初等函数和的

7、复合函数　　是初等函数　　又在其定义域内　　故　　由于初等函数在其定义域内都是连续的，所以画初等函数在其定义域内的图像时可以用描点法。　　2.怎样找函数的间断点　　例4.试指出函数的间断点。　　解：时，无定义　　是间断点　　在处，当时无限增大，这时在-1与1之间无限次振动，所以在处的右极限不存在。同理可证在处的左极限也不存在。　　是函数的第二类间断点　　例5.试指出函数的间断点。　　解：时，无定义　　是间断点　　在处极限存在但不连续，故是函数的第一类可续间断点。6　　由例4、例5可以看出找函数间

8、断点的步骤是：　　（1）首先找出使函数无定义的点（可能是一个，也可能是多个）　　（2）然后求出此点是否存在极限，若存在则此点为第一类的可去间断点，若左右极限存在，但不相等，则此点为第一类的跳跃间断点，若不存在（至少左，右极限中有一个不存在）则此点为第二类间断点　　3.两个连续函数的和、差、积、商其结果仍是连续函数，　　因为经常出现连续函数（有限个）的四则运算，了解这个结果，对进行连续函数的和、差、积、商的微分和积分就十分顺利了。　　六、函数的连续与可微、可积的关系　　因为微积分研究的最重要的课题