关于广义函数的一些讨论

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1、关于广义函数的一些讨论无02班毕伟宫殿言鑫江伦无05班杨培黄一楠《信号与系统》讨论课报告10/7/20211问题的提出在学习课程《信号与系统》时，基础到了与经典数学定义相矛盾的广义函数；其在工程中的巨大应用以及在理论上的标新立异使得精确的掌握它成为了一个难点。书上运用是的分配理论给出的广义函数的定义，较为直观易懂，但在一些问题上存在着不严格的地方，同时进一步的讨论较为困难。所以如何提出一种模型在一定范围内解释广义函数显得较为重要。10/7/20212背景L.Schwartz在1950年发表的用泛函定义的广义函数，称之为分布论

2、。J.Mikusinski在1953年发表的用卷积商定义的广义函数。J.Mikusinaki在1955年发表的用常义连续函数序列的极限定义的广义函数。我们的书上分配理论就是主要为第三种定义。10/7/20213问题一：关于f（x）的定义由于其在负无穷到正无穷上的积分为零，而又仅在x=0的这一点函数值不为零，这显然是互相矛盾的。因为一个几乎处处为零的函数在黎曼意义下的积分必为零。另外有一些符合筛选性质的函数也不符合Dirac的定义。10/7/20214问题二：关于广义函数的乘积书上强调广义函数的乘积没有意义。但当计算广义函数的

3、卷积时就会出现广义函数的乘积。问题三：关于卷积的结合率[1*δ’(x)]*u(x)＝0*u(x)＝0[δ’(x)*u(x)]*1＝δ(x)*1=1得到了1=0的缪论。10/7/20215问题四：关于广义函数的变换广义函数是不符合变换的条件，但却需要变换。问题五：关于在牵涉到广义函数时求积分与求和的交换次序例如求积分与求和，求微分与求和等10/7/20216问题六：关于莱布尼兹公式[u(x)]’=δ(x)[u(x)u(x)]’=2δ(x)u(x)但是u(x)＝u(x)u(x)所以得到了δ(x)=2δ(x)u(x)的谬论10/7

4、/20217合理的数学模型系统地学习广义函数严格的理论（第一种）显然需要许多的时间，从应用的角度出发，只要在一定范围内之内做一些定义与假设，保证正确运用就足够了。所以可以结合第一与第三种定义来解释上面提出的几个问题。10/7/20218首先给出线性泛函定义：设ζ是常意函数构成的线性空间γ是一个数集若按某一映射f对ζ任意函数g(x)在γ中都有一个数v与之对应，则称1．f为定义在ζ上的一个泛函。2.ζ为f的定义域γ是f的值域。10/7/202193.g（x）中的x为f的域，若对ζ中任意g1，g2，f对应v1，v2且对任意a1，a

5、2，a1*g1+a2*g2在f下对应的是a1*u1+a2*u2则称f为线性泛函。4.若gm为ζ中函数序列且其极限为0并且在f下对应的数列Vm的极限也为零，则称f为连续泛函。10/7/2021105.若一函数可以处处微分多次，且它和它的一切导数当x趋于无穷时对一切n均为x-n的高阶小量，则称为良函数，若对x趋于无穷时都是xn的高阶小量，则称为适度良函数6.设f是作用在良函数上的一个线性连续泛函，则称这一泛函为一个广义函数如果某广义函数对任意良函数所映射的值v可用经典反常积分表示，则称为正则广义函数否则为奇异广义函数。10/7/

6、202111问题的解决1．问题一由定义即可解释2．问题二与问题六定义：设k是非负整数，r为整数，在x=x0的某一个邻域内：（1）若广义函数f正则，其k次微分仍等于局部可以经典广义积分的常义函数，但再微分就为奇异广义函数，则称f在x=x0这一点的阶r为-k（2）若广义函数f奇异，其k－1次积分仍奇异，但再积分就为常义函数，则称f在x=x0这一点的阶r为k10/7/202112（3）无限可微的常义函数的阶r为负无穷。于是有：设f与g为广义函数，在点x0处，rf>rg(1)若rf＋rg=0，则fg存在，但其导数不符合莱布尼兹公式(

7、2)若rf＋rg<0,则fg存在，且其导数符合莱布尼兹公式(3)若rf＋rg>0,则fg不存在10/7/2021133.首先卷积是符合交换律的，如果也符合结合律即对函数f,g,h而言就有：（f*g）*h=(f*h)*g=(g*h)*f所以其两两的卷积就必须存在。但对于1与u(x)与冲奇偶函数，1与u(x)的卷积就不存在所以说两两的卷积存在是符合结合律的必要条件10/7/2021144.可作如下定义：f（x）的傅立叶变换是由序列fn(x)对应的傅立叶变换式gn(y)确定即g(y)这里f(x)由fn(x)确定，例如：e-nx*x

8、(n/π)1/2的变换式为e-π*π*y*y/ne-nx*x(n/π)1/2对应的就是f（x）所以f(x)的傅立叶变换式就是e-π*π*y*y/n的极限：110/7/2021155.结论：就广义函数而言求和与微分极限与微分等可交换的条件是要求序列是弱收敛的，定义1：若常函数序列fn(x)序