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1、1一元函数连续性的基本问题11.1一元函数连续性的定义11・2左、右连续的引入11.3一元连续函数的性质22检验一元函数连续性的方法32.1利用连续函数定义检验函数的连续性32.2利用增量法研究函数的连续性42.3利用左右极限检验函数在一点的连续性42.4利用定理研究函数的连续性52.5利用连续函数的运算性质研究连续性63关于二元函数连续64函数间断点及其分类io4.1第一类间断点115—致连续函数的等价条件125.1有限区间上一致连续函数的判定135.2无限区间上一致连续函数的判定14结束语14参考文献16致谢17关于函数连续性的研
2、究数学系本十三班李春林指导老师：齐素英摘要：连续是函数的一个最基本的概念，它是数学分析的基础，也是数学分析的一个难点，教材对他的研究是很粗浅而月•也是很零散的，本文将贯穿于整个教材的连续问题进行归纳总结，并对一些比较核心的问题进行对比，再通过黎曼函数的连续性等问题的研究探讨连续函数的本质，对全面理解函数的连续性冇重要意义。关键词：函数，连续性。ResearchonthefunctionofcontinuityLiChunLinClass13MathematicsDepartmentAdviser:QiSuYingAbstract:Ac
3、ontinuousfunctionisthemostbasicconcept,whichisthebasisofmathematicalanalysis,mathematicalanalysisisahardnuttocrack,teachingmaterialsforhisresearchisveryshallowbutalsoveryfragmented,thisarticlewillrunthroughthewholeissueofteachingmaterialsforsummarized,andsomeofthemoreco
4、reissuesofcomparison,thenthecontinuityofRiemannfunctionstudysuchissuesasthenatureofcontinuousfunctiononacomprehensiveunderstandingofthecontinuityoffunctionareimportant.Keywords:function,continuityof.1一元函数连续性的基本问题1.1一元函数连续性的定义定义1：设函数/(X)在点勺的某个邻域内有定义如果，lim/(x)=/(x0),则称XT%
5、函数/(X)在点X。连续。定义2:柯西定义｛Cauchy)设函数/(兀)在点集E在7?有定义。X。wE,对V£>0』>0,当xwUh)*)"E对有
6、/U)-/、&』V£,则/(x)在点x0连续。定义3:海涅定义(Heme)设/&)定义在EwR上,xogE，对任意的点列｛x„｝(=£,收敛于点兀°,当〃Too/(xJ=/(x0),则/(x)在兀连续。1.2左、右连续的引入按照函数点连续的定义，若函数在一点连续，那么必须存在一个此点的邻域,使函数在这个邻域有定义。我们又说函数在所定义的区间上每一点连续，那么什么区间才能使区间内每一点，都有
7、一小邻域，使这个小邻域落在函数定义域之内呢？只冇开区间具冇这种性质，因为闭区间的两个端点不存在一个包含端点的小邻域，使它落在闭区间上。如此按照连续函数的一般定义，函数的连续性对闭区间就关闭了大门。这就需要引入左、右连续的概念。例如，函数y=,/(x),定义在闭区间肚引上，对于左端点，只有右边才有意义，需要考虑右边的连续性；对于右端点，只有左边才有意义，需要考虑左边的连续性。所以若函数y=/(x)在闭区间肚引上连续，是指函数y=/(x)在闭区间［⑦引的每一内点连续，而且左端点右连续，右端点左连续。对丁分段表示的连续函数，不同区段用不同的
8、式子表示，讨论区段连接点的极限要用到左极限和右极限。冇这样的定理：“函数尹=/(兀)在兀二兀点冇极限的充分必要条件是左、右极限存在，并相等。”对于分段表示的连续函数在连接点的连续性，用左、右连续来讨论是很方便的。和极限对应有这样的定理：“函数在X=x()点连续充分必要条件是左、右连续。”当然，对于连续性就没冇左、右连续并相等这一说。因此，左(右)极限值等于函数在该点的函数值才是左(右)连续。1.3一元连续函数的性质性质1：(局部有界性)若函/在点勺连续，则/在某内有界。性质2：(局部保号性)若函/在点X。连续，&/(x0)>0(或vO
9、),则对任何止数r厂(或/(x)<-r)o性质3：(四则运算)设函数/和g均在点兀。连续，贝”+g,/・g,//g(这里g(x)#0)也都在点兀连续。
