论文_关于函数一致连续性的讨论

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1、长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练关于函数一致连续性的讨论系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号：2009031120学生姓名：申霁成绩：　　　　2012年６月5关于函数一致连续性的讨论申霁长沙学院信息与计算科学系,湖南长沙,410022摘要：函数的一致连续性在数学分析中是一个比较精细的概念，占的地位比较重要．本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性．关键词：连续函数性质区间一致连续性瑕积分比值判别法１引言函数的一致连续性是数学分

2、析中应用非常普遍、重要和抽象的概念，反映的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性质，是微积分学的基础．文献[1]的作者介绍了数学分析中的一些定理性质及应用．文献[2]的作者讨论了如何判断函数是否一致连续，并且给出了一致连续的性质和证明．文献[3]的作者讨论了函数在非闭区间包括有限开区间及无限区间上，满足一致连续性的充分条件，并且用连续模刻画任意区间上的函数的一致连续性．文献[4]的作者结合瑕积分敛散性的判别法，给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的几种新判别方法．文献[5]的作者提出了函数一致连续性的比较判别法和比值判别法定理．本文介绍了三种判别函数一致

3、连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性．定义1【1】设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在，使得对任何,只要，就有，则称函数在区间上一致连续．5２不同类型区间上函数的一致连续性我们利用连续函数的性质判定闭区间上函数的一致连续性【2】，非闭区间包括有限开区间及无限区间上函数的一致连续性【3】．定理1[2]（Contor定理）若函数在上连续，则在上一致连续．证明，因为在点连续，所以，，使得，若，，则，，就有

4、

5、，，也就是说，在任何邻域内，都有．现在考虑，当取遍上一切点时

6、，构成一个开区间集，它覆盖着，由有限覆盖定理，就由从中所取的有限个开区间所覆盖，取，且，必属于中的一个，设即，又，表明，所以有，即在上一致连续．5定理2[3]函数在内连续，且与都存在，则在上一致连续．证明因为函数在内连续，所以有，，则在上连续，由定理1可知，在上一致连续从而在上一致连续．定理3[3]若在上连续，且,则在上一致连续．证明因为，由Cauchy收敛准则有，，，有，又已知在上连续，所以在上一致连续，即上述，，，有，于是，有，即在上一致连续．定理4[3]若在上连续，且,则在上一致连续．定理5[3]在上连续，且，，则在上一致连续．例1【2】证在上是一致连续的．证明设，,2,

7、故对，，当时，有,所以在上是一致连续的.5３利用瑕积分的敛散性判断函数的一致连续性结合瑕积分敛散性的判别法，给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的几种新判别方法【4】．定理6[4]，为的瑕点，且收敛，则在上一致连续．证明，在上任意闭区间上连续，从而在上一致连续，因为收敛，所以只要，总有，,只要，总有，所以在上一致连续，取，可得在上一致连续．定理7[4]，,为的瑕点，且收敛，在上单调有界，则在上一致连续．定理8[4]，,为的瑕点，且在上有界，在上单调且当时趋向0，则在上一致连续．４利用比值判别法判断函数一致连续性利用比值判别法判断函数的一致连续性［５］．定理9【5】函数，，，，

8、满足：(i)；(ii)，在上可导，且0；5（iii）存在，若(为非0定值)，则，有相同的一致连续性．例2【5】判断函数的一致连续性．证明选取函数作为比较函数，有，函数在区间上一致连续，由定理5知，函数函数的一致连续性．参考文献[1]华东师范大学数学系编数学分析[M]上册（第三版）高等教育出版社78-79[2]高吉．浅析函数的一致连续性，包头职业技术学院学报[J]．2011,12(3)：40-41[3]张婧．关于函数在非闭区间上的一致连续性的几点注释，长春师范学院学报[J]．2011，30(3)：10-11[4]刑秀芝，吴景珠，王励冰．谈函数一致连续性的判别方法，周口师范学院学报

9、［J］．2009,27(2)：37-38　[5]杨小远，马建华，张立文，王玮彬，刘梦．关于函数一致连续性的判别方法研究[J]．2010，28(6)：635-6365