函数一致连续性论文

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1、一致连续函数的证明与性质周青（081114132）（孝感学院数学与统计学院）摘要本文综述了连续函数的一致连续性条件以及一致连续函数所具有的性质。在研究连续函数在区间内一致连续条件时，通过改变函数的定义域，讨论一致连续性问题；并且讨论了数列函数，周期函数的一致连续性。关键词函数;连续;一致连续；函数性质ConsistentcontinuationfunctiondemonstratedwithnatureAbstractThisarticlereviewsthecontinuousuniformco

2、ntinuityoffunctionsandthepropertiesofuniformlycontinuousfunction.Inthestudyofcontinuousfunctionontheintervaluniformcontinuityconditions,bychangingthedefinitionofthefunctiondomain,discusstheuniformlycontinuityproblems;anddiscussesthesequencefunction,pe

3、riodicuniformcontinuityoffunctions.Keywordsfunction;continuous;uniformlycontinuousfunction121引言函数的一致连续性是研究函数的重要内容，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解其他知识的基础。为了使函数一致连续性的判定条件更加系统，本文总结了函数一致连续的一些条件。本文主要探讨连续函数到一致连续函数所需的条件。函数在区间上连续是指函数在该区间的每一点都连续，而一致连续性概念反映了函数在区间更强的连续性。函数在

4、区间上一致连续，可以推出函数在区间上每一点都连续，而函数连续并不能推出函数一致连续。但对于定义在闭区间的函数，函数每一点连续，却可以推出函数在该闭区间上一致连续。本文主要分为两个部分：第一部分介绍了一致连续函数的判定定理；第二部分介绍了一致连续函数的性质。一致连续函数的判定定理主要包括函数在区间上的一致连续的判定定理以及周期函数和数列函数一致连续的判定定理。一致连续函数的性质主要包括函数值与自变量的关系，函数的有界性以及四则运算。2一致连续函数的主要结论定义设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在

5、，使得对任何，,只要，就有，则称函数在区间上一致连续.定理1（一致连续性定理）若函数在闭区间上连续，则在一致连续.证明由在闭区间上连续性，对每一点，都存在>0使得当时有考虑开区间集合显然是的一个开覆盖，由覆盖定理，存在的一个有限子集12……}覆盖了记=，对任何，，，必属于中开区间，设即此时有同时有和由此得所以在上一致连续.定理2有界开区间上的函数为一致连续的充要的条件是与均存在且有限.证明充分性若及存在且有限，则=及=这样延拓后函数于上连续，依据一致连续定理在上一致连续，所以在上一致连续必要性设在

6、上一致连续，按定义对，，只要,并且，就有于是当0<-<0-<时有所以存在且有限，同理可证存在且有限.定理3设区间的右端点c，区间的左端点也为c（，可以分别为有限区间或无线区间）.证明：若分别在和上一致连续，则在12=上也一致连续.证明由分别在和上一致连续，分别存在正数，使得.对任何，，只要，就有又对任何，，只要，也有成立点作为的右端点，在点为左连续，作为的左端点，在点为右连续，所以在点连续，故对上述，存在，当时有令=min（，，），对任何，，分别讨论2种情形：（i），同时属于或同时属于则成立（ii

7、），分别属于与，设，则由，得，同理得从而成立，即在上一致连续.定理4函数在上一致连续的充分条件是在上连续及存在且为有限值.证明设=，，，，有

8、-

9、+

10、-

11、<+=所以在上一致连续由于在上连续，所以在上连续，从而在一致连续12又由于，有定理3知在上一致连续.定理5函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在且为有限值.定理6函数在上一致连续的充分条件是在上连续且都存在且为有限值.定理7函数（x）在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在且为有限值.定理8函数（x）在上一致连续的充分条件是在上连续且和

12、都存在且为有限值.定理9设在上连续，在上一致连续且，则在上一致连续.证明对任意的，因为，所以存在当时，就有又因为在上连续，所以在上连续，故在上一致连续。又因为在上一致连续，所以在上一致连续，故存在（使），对任意，，只要，就有所以对任意，，只要，就有所以在上一致连续，所以在=12上一致连续.定理10函数在上一致连续的充分必要条件是对区间上当有=0.证明必要性因为在一致连续，故，当，有，有

13、

14、而，对于，N，当必有，因而

15、

16、即=0充分性（反证法）设(x)在上不一致连续，则有0，，，，由得