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1、
2、函数的性质一，函数的奇偶性1，判定方法：（1）求定义域并验证是否关于原点对称。（2）求。（3）根据与的关系定论例；（1）（2）（3）（4）2，常见的几种奇偶性函数；（1）；（奇）（2）；（偶）（3）（奇）3,有关性质及结论：（1）图像性质：为奇函数图像关于原点对称；为偶函数图像关于轴对称；给出轴右边的图像，根据函数的奇偶性，你会画轴左边的图像吗？亲（2）函数为奇函数函数的图像关于原点对称函数的图像关于对称（3）函数为偶函数函数的图像关于轴对称函数的图像关于对称（4）单调性判定；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数则相反（5）
3、运算性质；在两个函数公共定义域内：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇偶=奇；奇奇=偶；偶偶=偶对于复合函数，“有偶则偶，同奇为奇”例；（1）函数的奇偶性是（2）函数的奇偶性是（3）函数的奇偶性是（3）函数的奇偶性是（4）函数在上是偶函数，则；
4、（6）常数函数一定是偶函数，（时，同时又是奇函数）；一次函数为奇函数；二次函数为偶函数（7）若是奇函数定义域内的元素，则函数的图像一定过原点。即（8）若为偶函数，则（9）奇函数的最大值+最小值=0（10）若可导的函数是偶（奇函数）那么的是奇（偶函数）例1,设是定义在R上的奇函数，当时，，则2．
5、已知为偶函数，为奇函数，且，则3.若，且，则4.已知在增函数，且是偶函数，试比较的大小5.若函数为偶函数，则实数=6.若函数为奇函数，则实数7.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则8.设函数的最大值为M，最小值为m。则M+m=变式：求9.已知则10.（14年湖北）已知是定义在R上的奇函数，当时，则函数的零点的集合
6、11.（14湖南）若是偶函数，则12：(15新II-12)设函数则使得成立的的取值范围是二；函数图像自身的对称性。(1)若函数满足。则的图像关于对称（2）若曲线满足，则曲线关于对称（3）若函数满足。则的图像关于对称（4）
7、若函数满足。则的图像关于对称（5）若函数满足。则的图像关于对称（6）若函数满足。则的图像关于对称例；（1）如果的图像与函数的图像关于原点对称，则（2）定义在R上的函数满足，，则（3）定义在R上的函数为偶函数。满足且在上是减函数，则=(4)设（1）求的最小正周期，（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时，的最大值(5)用表示实数两数中的最小值。若函数满足
8、，则函数在上的值域为注；两个函数图像间的对称不在细讲！（1）（2）（3）（4）（5）（6）两个函数关于对称的例:求关于对称，关于对称例：（15新I-12）设函数的图象与的图象关于直线对称
9、，且则三；函数的周期性：1．定义：设函数如果存在非零实数T，使得对于任意的,都有则称为周期函数，T是的周期。说明：（1）若T是函数的一个周期，则也是它的周期。（2）对周期函数如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。2.结论：（1）若满足或，则T=（2）若满足，则（3）若满足，则T=(4)若直线均是函数图像的对称轴，则为周期函数。则(5)若点均是函数图像的对称中心，则为周期函数。则(6)若点分别是的一个对称中心和一条对称轴，则(7)原函数是周期为的周期函数,那么它的导函数也是周期为的周期函数.
10、例；（1
11、）设是定义在R上的奇函数：且对一切都有则（2）已知定义在R上的奇函数满足，则方程在上的实根个数至少个（3）已知的周期是5且，则（4）设是R上的偶函数，它的图像关于直线对称。且当时，,则当时，（5）（14年全国）奇函数的定义域为R。若为偶函数，且则（6）设是定义在R上，以1为周期函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为(7)定义在上的可导函数是以4为周期的周期函数,且图象关于直线对称,则=练习；（高考试题汇集）（1）设函数的图像关于直线对称，则的值为（2）设函数是定义在R上的奇函数，若当时，，则满足的取值范围（3）若满足（4）设为
12、定义域在R上的奇函数，当时，，则（5）已知函数的周期为2，当时，，那么函数
13、的图像与函数的图像的交点共个（1）已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图像在区间上与轴的交点的个数为（2）设是定义在R上且周期为2的函数，在区间上，其中则（3）已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数。（4）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围（10）(14安徽)若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则（11）（14江苏）已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，。若函数在区间上有10个零点（互
14、不相同），则实数的取值范围是(12)(15山东)设函数则满足的的取值范围
15、四：函数的单调性（一）；单调性定义及结论；（1）给定区间D上的函数，若对于任意的,当时，都有，则为区间D上的增函数（2）给定区间D上
