傅立叶级数和hermite函数的性质分析

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1、12傅立叶级数和Hermite函数的性质分析内容摘要该文从傅立叶级数和Hermite函数都有正交基性出发，分别阐述了两者各有的性质。文中首先介绍了傅立叶级数的来源，建立于波动方程的发展历程，以及它的正交基性。文中后半部分介绍了Hermite函数的性质，主要是证明了Hermite函数的正交基性。关键词：傅立叶级数Hermite函数正交基性ABSTRACTThispaperstartsoutfromthatbothFourierseriesandHermitefunctionsformacompleteorthono

2、rmalsystemfor,andanalyzetheirproperties.FirstweintroducetheoriginsofFourierseries,thedevelopmentwhichisbasedonstandingwaveanditspropertyasorthonormalbasis.ThelaterpartfocusonthepropertyofHermitefunction,mainlyproveitsorthonormalbasis.KEYWORDS:orthonormalbasis

3、FourierseriesHermitefunction1212傅立叶级数和Hermite函数的性质分析目录傅立叶级数的性质分析……………………………………………………1Hermite函数的性质分析………………………………………………4（一）Hermite函数的一些性质……………………………………4（二）Hermite函数基性的证明……………………………………6参考文献………………………………………………………………………81212傅立叶级数和Hermite函数的性质分析傅立叶级数和Hermite函数的性质分析在

4、高等数学的理论中，傅立叶级数的研究一直占有着重要的地位，而在量子力学的发展史上，Hermite函数起了不可估量的作用。两个看似极不相同的函数却有着很多相似的特性。它们都是作为调和振动的特征根被数学家们所发现，都是傅立叶变换的特征根，最重要的是它们都有正交基性。下面让我们看一下它们各自的性质分析。一、傅立叶级数的性质分析傅立叶是第一个相信任意一个函数可以表示成三角级数的人，即任意函数是基本的三角函数sinmx和cosmx的线性组合，其中m是任意整数。尽管这个想法在当时并没有受认可，但傅立叶对自己的观点充满信心，同时

5、把它应用到热的分散的分析中去。这便是傅立叶分析的开端。这门学科最初发展是用来解决一些物理问题，并逐渐运用于一些数学问题和其它领域。傅立叶级数的发展背景：一开始这关于是振动弹簧的问题，逐渐是对热量流动的探讨，最后发展为傅立叶分析。这两个不同的物理现象能被不同的偏微分方程，波动方程和热方程表示，而它们都能用傅立叶级数解决。在此我们从振动弹簧开始分析并且分三步进行。首先，我们用到了一些重要的数学概念，cost,sint,变量分离的应用，驻波，线性组合等等；接着，我们通过振动弹簧的运动分析得出偏微分方程；最后，求出偏微分

6、方程的解。考虑一个质量为m的物体水平放置，一端通过弹簧连着固定的墙另一端连着物体，其中水平面的摩擦系数为零。当物体静止时质量中心位于水平线的原点，如图：1212傅立叶级数和Hermite函数的性质分析随着物体偏离原点开始运动，它将经历简单调和振动，而这种运动恰好能被数学中的偏微分方程表示。Y(t)表示物体在t时刻的偏离距离，我们假定弹簧满足Hooke’slaw:即弹簧对物体的作用力是F=-k*y（t）,其中k是给定的弹簧系数，结合牛顿定理可以得出：-k*y（t）=m*y”(t),这里y”(t)是y关于t的二阶偏导

7、，记c=,方程变形为y”(t)+y(t)=0（1）。方程（1）的通解是y(t)=a*cosct+b*sinct,其中a和b都是常数。而且，a*cosct+b*sinct=A*cos(ct-),在这里A=是振幅，c是振动频率，是相位。由此我们可以看出，振动弹簧可以用一维波动方程表示，而这可以用驻波来解出，所谓的驻波就是y=u(x,t)可以表示为u(x,t)=.而且驻波从本质上解释了“变量分离”的数学概念。下面我们进行波动方程的推导。把一根匀质的，总长为L的绳子放在（x,y）平面上，抖动绳子后产生了波动，用y=u(x

8、,t)表示绳子的垂直高度，我们的目标是由此得出偏微分方程。考虑将绳子均匀分成N等分，如果把每一段绳子想象成一个质点，第n个质点的横坐标是=。如图：我们令=u(,t),并记-=h,这里h=.我们假定绳子有固定的密度p>0,这样可以假定每一个质点的质量是ph.根据牛顿定理，作用在第n个质点上的力等于phy”(t).这样来自质点右边的力同比例于（-）/h,h是与之间的距离。因此