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《高考数学数列的极限专题复习(专题训练最全版).pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题七、数列的极限1.数列极限的定义:一般地,如果当项数n无限增大时,无穷数列{a}的项a无限趋近于某nn.....个常数A(即
2、an-A
3、无限地接近于0),那么A叫做数列{an}的极限,或称数列{an}收敛于A,记作:limanA(A不一定是{an}中的项),读作“n趋向于无穷大时,an的极限等于A”.n注意:只有无穷数列才有极限,有限数列不存在极限。2.几个重要极限:1(1)lim0;nn(2)limCC(C是常数);n0a1n(3)lima1,a1;n不存在,a1,或a
4、1nn注意:lima存在与lima0,实数a要满足的条件是不同的;nn0(st)tt1a0na1nat1nata0(4)lim(st);nbnsbns1bnbb01s1s0不存在(st)1n(5)lim(1)e,特别注意此式的变式情况,如:nnf(n)g(n)g(n)1limf(n)g(n)nlim1f(n)lim1f(n)f(n)e,其中要存在limf(n)0。nnn3.数列极限的运算法则:如果l
5、imaA,limbB,那么:nnnn(1)lim(ab)AB;lim(ab)AB;nnnnnnanA(2)lim(a.b)A.B;lim(B0);nnnnbBn注意:运用数列极限的运算法则求数列极限,应注意法则适应的前提条件:参与运算的数列都有极限,运算法则仅适合于有限个数列。4.无穷等比数列的各项和:公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和,当n无限增大时的极限,叫做这个无穷等比a1数列各项的和,记做SlimS,(0
6、
7、1)q.nn1q15.求极限的常用方法:1
8、n(1)求数列极限最后往往转化为mN或qq1型的极限;mnmn(2)分子、分母同时除以n或a;(3)求和(或积)的极限一般先求和(或积)再求极限;n1(4)利用已知数列极限(如limq0q1,lim0等);nnn(5)含参数问题应对参数进行分类讨论求极限;0(6)∞-∞,,0-0,等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限。022例1.已知a、b∈R,且a1,b1,则无穷数列:1,(1b)a,(1bb)a,,2n1n1(1bbb)a的和为_
9、____________2n﹣1n﹣1n﹣1n﹣1n﹣1n解:设cn=(1+b+b+…+b)a=•a=(a﹣ab),∵
10、a
11、<1,
12、b
13、<1,222n﹣1n﹣1∴无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b)a,…,(1+b+b+…+b)a…的和:S=[﹣]=[﹣﹣+]=﹣==2例2.已知lim(nanbn1)b,则实数a=___________4n解:======b2∴1﹣b=0,解得b=1或b=﹣1(舍去),且,∴a=4.22例3.已知数列{an}满足an11,a13,则liman=___________
14、_2ann【分析】由题意推导数列{}是一个等比数列,求出通项公式an,然后利用数列的极限的运算法则,求出数列的极限.解:∵===.∴{}是一个首项为,公比为﹣的等比数列,∴,∴an=,∴===2.122例4.过点(2,0)(nN)且方向向量为(2,1)的直线交双曲线xy4于An,Bn两n点,记原点为O,△OAnBn的面积为Sn,则limSn=n【分析】依题意,可知过点(2﹣,0)的直线的斜率为,n→+∞时,点(2﹣,0)→(2,220),原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x﹣y=4的两个交点A、B与原
15、点O所组成的三角形的面积。解:∵过点且方向向量为(2,1),即其斜率k=,(2﹣)=2,∴当n→+∞时,点(2﹣,0)→(2,0),22∴n→+∞时,△OAnBn的面积就是直线y﹣0=(x﹣2),即x﹣2y﹣2=0与双曲线x﹣y=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积,设为S,2由消去x得:3y+8y=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2,=﹣,y1•y2,=0,x1+x2,=2y1+2y2,+4=﹣,3∴
16、AB
17、==•=•=.又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==,∴S==
18、AB
19、•d=××=.
20、变式训练:n,n41.(2016静安区一模)已知数列{an}的通项公式为an,则liman____nn24nn,n4解:数列{an}的通项公式为,则======﹣2.2n1,n20152.已知an1,Sn是数列{an}的前n项和(A)n1(),