高考数学数列的极限专题复习(专题训练最全版).pdf

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1、专题七、数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{a}的项a无限趋近于某nn．．．．．个常数A（即

2、an－A

3、无限地接近于0），那么A叫做数列{an}的极限，或称数列{an}收敛于A，记作：limanA（A不一定是｛an｝中的项），读作“n趋向于无穷大时，an的极限等于A”.n注意：只有无穷数列才有极限，有限数列不存在极限。2.几个重要极限：1（1）lim0；nn（2）limCC（C是常数）；n0a1n（3）lima1,a1；n不存在，a1,或a

4、1nn注意：lima存在与lima0，实数a要满足的条件是不同的；nn0(st)tt1a0na1nat1nata0（4）lim(st)；nbnsbns1bnbb01s1s0不存在(st)1n（5）lim(1)e，特别注意此式的变式情况，如：nnf(n)g(n)g(n)1limf(n)g(n)nlim1f(n)lim1f(n)f(n)e，其中要存在limf(n)0。nnn3.数列极限的运算法则：如果l

5、imaA,limbB,那么：nnnn（1）lim(ab)AB；lim(ab)AB；nnnnnnanA（2）lim(a.b)A.B；lim(B0)；nnnnbBn注意：运用数列极限的运算法则求数列极限，应注意法则适应的前提条件：参与运算的数列都有极限，运算法则仅适合于有限个数列。4.无穷等比数列的各项和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比a1数列各项的和，记做SlimS,(0

6、

7、1)q.nn1q15.求极限的常用方法：1

8、n（1）求数列极限最后往往转化为mN或qq1型的极限；mnmn（2）分子、分母同时除以n或a；（3）求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限；n1（4）利用已知数列极限（如limq0q1，lim0等）；nnn（5）含参数问题应对参数进行分类讨论求极限；0（6）∞－∞，，0－0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限。022例1.已知a、b∈R，且a1，b1，则无穷数列：1，(1b)a，(1bb)a，，2n1n1(1bbb)a的和为_

9、____________2n﹣1n﹣1n﹣1n﹣1n﹣1n解：设cn=（1+b+b+…+b）a=•a=（a﹣ab），∵

10、a

11、＜1，

12、b

13、＜1，222n﹣1n﹣1∴无穷数列：1，（1+b）a，（1+b+b）a，…，（1+b+b+…+b）a…的和：S=[﹣]=[﹣﹣+]=﹣==2例2.已知lim(nanbn1)b，则实数a=___________4n解：======b2∴1﹣b=0，解得b=1或b=﹣1（舍去），且，∴a=4．22例3.已知数列{an}满足an11，a13，则liman=___________

14、_2ann【分析】由题意推导数列{}是一个等比数列，求出通项公式an，然后利用数列的极限的运算法则，求出数列的极限．解：∵===．∴{}是一个首项为，公比为﹣的等比数列，∴，∴an=，∴===2．122例4.过点(2,0)(nN)且方向向量为（2，1）的直线交双曲线xy4于An，Bn两n点，记原点为O，△OAnBn的面积为Sn，则limSn=n【分析】依题意，可知过点（2﹣，0）的直线的斜率为，n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，220），原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x﹣y=4的两个交点A、B与原

15、点O所组成的三角形的面积。解：∵过点且方向向量为（2，1），即其斜率k=，（2﹣）=2，∴当n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），22∴n→+∞时，△OAnBn的面积就是直线y﹣0=（x﹣2），即x﹣2y﹣2=0与双曲线x﹣y=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，2由消去x得：3y+8y=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，=﹣，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣，3∴

16、AB

17、==•=•=．又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==，∴S==

18、AB

19、•d=××=．

20、变式训练：n,n41．（2016静安区一模）已知数列{an}的通项公式为an，则liman____nn24nn,n4解：数列{an}的通项公式为，则======﹣2．2n1,n20152.已知an1，Sn是数列{an}的前n项和（A）n1(),