专题复习数列、数列的极限、数学归纳法人教

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1、亿库教育网http://www.eku.cc专题复习数列、数列的极限、数学归纳法一.本周教学内容：1.复习内容：专题复习“数列”、“数列的极限”、“数学归纳法”。重点是：①数列的通项公式、前n项和公式的关系；用递推关系式表示数列；②两种基本数列——等差数列与等比数列的定义，通项公式、前n项和公式、性质；③极限的运算法则，公比q的绝对值小于1的无穷等比数列的所有项的和的定义以及计算公式；④数学归纳法的涵义及其运用。2.要点综述：①数列与极限是初等数学与高等数学衔接和联系最紧密的内容之一，有关极限的概念及方法是微积分的重要工具。因此，数列的

2、极限就成为进一步学习高等数学的基础。②两种基本数列——等差数列、等比数列，是高考中的必考内容，要熟练掌握这两种数列的定义，通项公式、前n项和公式以及其性质。③数列的极限的思想方法要认真体会，为进一步学好高等数学作好充分的准备。高考试题中对极限的考查逐渐由单一地求数列的极限，向结合等差、等比数列的计算求极限转化逐渐向结合数列求和方法求极限转化。④数学归纳法作为一种证明方法，在证明某些与自然数n有关的命题时，有其他证明方法所不具有的独特性和优越性，是一种非常重要的证明方法，应认真体会其要义并能正确使用它，在高考试题中，经常作为解答中的一个环

3、节来考查，比如，给出一个数列的递推关系式，先求出其前三项，进而推测通项公式，最后再用数学归纳予以证明。这其中，体现了数学中“归纳——猜想——证明”的由特殊到一般的思维方法。3.复习建议：①认真复习以下概念——等差、等比数列的定义，数列极限的定义，认真体会其内涵。②掌握几个重要公式——数列的前n项和Sn与通项an的关系式；等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式；无穷等比递缩数列的所有和S的计算公式。③掌握一个重要性质——设m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，④掌握数列求和的几个方法——裂项求和法，错位相减求和法，以及公式法。【典型例

4、题】例1.分析：这是一道数列与函数综合的习题：①由条件“f(x)的图象过原点”，可以确定f(x)它们依次成等差数列的条件，可列出关于x的方程，解方程得x值；②在①的基础上只需证。解：亿库教育网http://www.eku.cc亿库教育网http://www.eku.cc例2.分析：例3.分析：例4.分析：欲求等差数列{an}，等比数列{bn}的通项公式，只要求出{an}的公差d以及{bn}的首项b1的公比q即可。因此，要用已知条件列出关于d、b1、q的方程组。解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，首项为b1，依题意，有：注：本例

5、是一道很注重基础知识、基本方法的习题，对于这类的习题应通过复习熟练掌握。例5.分析：解：亿库教育网http://www.eku.cc亿库教育网http://www.eku.cc注：根据已知条件，确定数列的类型，对于进一步解题特别重要，因此要充分掌握已知条件中的各种有利因素，联想已学知识，发现解题的思路。例6.设{an}是一个由正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。（I）写出数列{an}的前3项；（II）求数列{an}的通项公式（要写出推理过程）；解：∴∴{an}是首项为a1=2，且

6、公差d=4的等差数列。从而其前三项依次为2，6，10。例7.（I）求数列{an}的通项公式；，求函数f(n)的最小值。分析：由此发现，{an}是公差为d=1的等差数列，进而可写出其通项公式。先判断数列的类型，再求其通项公式的方法，做为一种基本方法要熟练掌握。（II）所给函数f（n）是一个不连续函数，或称之为离散函数，这一点可通过自变量n的取值看出。通过计算f（1），f（2），f（3）的值会发现：f（n）是一个单调递增函数，（当然这一点应予以严格证明），既如此，那么f（n）的最小值是f（2），于是问题得解。解：亿库教育网http://ww

7、w.eku.cc亿库教育网http://www.eku.cc∴函数f(n)是增函数，例8.分析：对n赋值后，比较几对an与bn的大小，可作出合理猜测，再用数学归纳法予以论证。解：下面用数学归纳法证明上述猜想：（1）当n=6时，显然不等式成立，∴n=6时，不等式an

8、300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？分析：这是一道由社会生活实践中抽象出的应用型数学习题。将涉及