数列、数学归纳法及数列极限的复习.pdf

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1、数列、数学归纳法及数列极限的复习一、基本概念1数列：按一定次序排列的一列数.按项数是否有穷可分为有穷数列和无穷数列.按相邻两项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数数列和摆动数列.数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为正整数集或其子集.数列a的第n项a与n的nn关系式af(n)叫做数列a的通项公式.nn注意：不是每个数列都有通项公式！根据数列的前几项不能确定这个数列，但是可以写出它的一个或几个通项公式！有些数列有单调性、周期性、最值.2数列的递推公式：给出数列a的初始项(第一项或前几项)，再给出相邻两项或几项的n关系，这样的关系式称为数列a的递

2、推公式.naaaaa1,a1如：10，10，12等.aadaqaaaan1nn1nn2n1n3等差数列若aad(d为常数)，则数列a是等差数列.n1nn公差为d的等差数列a的通项公式为aa(n1)d.nn1(该公式可整理为adn(ad))n1设a是等差数列，若pqst2k(p,q,s,t,k都是正整数)，n则aaaa2a.注意：aaa一般不成立！mnpqkmnmnn(aa)n(n1)设a是等差数列，则a的前n项和S的公式为S1nnad.nnnn212d

3、d(该公式可整理为Sn2(a)n).n212若等差数列a的公差d0，则a是递增数列.若d0，则a是常数数列.nnn若d0，则a是递减数列.nab若a,A,b成等差数列，则A.任意两个实数都有唯一的等差中项.2．．判断a是等差数列的方法：(1)利用定义aad(d为常数).nn1n(2)根据aaaa.(3)根据apnq.(4)根据San2bn.n2n1n1nnn注意：证明数列a是等差数列时通常用定义！n4等比数列a若n1q(q为常数)，则数列a是等比数列.ann公比为q的等比数列a的通项公式

4、为aaqn1aqnm.nn1m设a是等比数列，若pqst2k(p,q,s,t,k都是正整数)，则aaaaa2.nmnpqkna(q1)1设a是等比数列，则a的前n项和S的公式为Saaqa(1qn).nnnn1n1(q1)1q1q等比数列a的公比q0.n若a,G,b成等比数列，则Gab.两个实数不一定有等比中项，若有等比中项，则有两个！aaa判断a是等比数列的方法：(1)利用定义n1q(q为常数).(2)根据n2n1.naaann1n(3)根据abqn.(4)根据Sbqnb.n

5、n注意：证明数列a是等比数列时通常用定义！n5数学归纳法对于关于正整数n的很多命题可以用数学归纳法解决.它是用有限的步骤完成无限的递推！第一步，证明nn时命题成立(这是递推的基础).第二步，假设nk(kN,kn)命00题成立.由此证明nk1时命题也成立(这是递推的依据).根据这两步，就可以无限递推下去，因而对于任意的正整数nn，命题都成立.数学归纳法的第二步必须用假设的结论！06数列的极限几个基本数列的极限：1①lim0(mN).②当x1时，limxn0.③limCC(C为常数).nnmnn运算法则：若limaA,lim

6、bB，则nnnn(1)lim(ab)limalimbAB.nnnnnnn(2)lim(ab)limalimbAB.nnnnnnnalimaAn(3)limnn(B0).(4)lim(Ca)ClimaCA(C为常数).nblimbBnnnnnnn数列极限的四则运算法则只适用于有限项.如果是无限项，应该先化简.设数列a为等比数列，首项为a，公比为q，a的前n项和为S.如果0q1，n1nna那么limSlim(aaa)aaa1nnn12

7、n12n1q公比为q的无穷等比数列a的各项和存在的充要条件是0q1.n二、常用结论1若数列a、b是等差数列，则pa、aa、paqb也是等差数列.nnnnn1nncan(c0,c1)是等比数列.2若等差数列a的前n项和为S.则S,SS,SS也成等差数列.nnk2kk3k2k3设等差数列a的首项为a，公差为d，其前n项和为S.n1n若d0，则S有最小值.若d0，则S有最大值.nn4数列a是等比数列，则pa、ak(kN)、aa也是等比数列.nnnnn1若数列a是等比数列，且a0，则

8、logCa