电磁场与电磁波(第4版)第3章部分习题参考解答.pdf

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1、3.1长度为的线电荷，电荷密度为常数Lρl0。(1)计算线电荷平分面上的电位函dd数ϕ；(2)利用直接积分法计算平分面上的E，并用E=−∇ϕ由(1)验证(2)所得结果。图题3.1解：(1)建立如图题3.1所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为L/2L/2ρρ00d'z22llϕρ(,0,0)==∫ln('zz+ρ+')−L/24περ22+z'4πε00−L/22222ρρρρ++(/2)LL/2++(/2)LL/2ll00==lnln4πεερ22+−(/2)LL/22πρ00(2)根据对称性，可得两个对称线电荷元ρl0dz′在点P的电场为dd

2、ddρd'zzρρd'll00ddEeEe==cosθ=eρρρ2περ22+z'ρ2περ('22+z)3/200故长为L的线电荷在点P的电场为L/2ddddL/2ρρd'zρ⎛⎞z'll00EE==de=e⎜⎟∫∫ρρ02περ('22+z)23/2περ⎜⎟ρ22z'00⎝⎠+0dρz'l0=eρ4περρ22+(/2)L0dd由E=−∇ϕ求E，有dρ⎡⎤ρ22++(/2)LL/2l0E=−∇=−ϕ∇⎢⎥ln2περ0⎢⎥⎣⎦dρl0d22=−eL[ln(ρρ+(/2)+L/2)ln]−ρ2περd0dρl0⎧⎫⎪⎪ρ1=−e⎨⎬−ρ2πε⎪⎪⎩⎭[/2LLL++ρ

3、ρ22(/2)]22+(/2)ρ0dρz'l0=eρ4περρ22+(/2)L03.2点电荷qq1=位于Pa1(,−0,0)，另一点电荷qq2=−2位于Pa2(,0,0)，求空间的零电位面。解：两个点电荷+q和−2q在空间产生的电位12⎡⎤qqϕ(,,)xyz=−⎢⎥4πε⎢+++⎣⎦()xayzxayz222()−++222⎥012令ϕ(,,)0xyz=，则有222−222=0()xayz+++()xayz−++222222即4[(x+++=−++ayzxayz)]()542222故得()x++ayza+=()3354由此可见，零电位面是一个以点(,−a0,0)为球心、

4、a为半径的球面。333.3电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为⎧ϕρ=≤0,a1⎪2⎨⎛⎞aϕρ=−Aa⎜⎟cos,φρ≥⎪2⎩⎝⎠ρ(1)求圆柱内、外的电场强度；(2)这个圆柱是什么材料制成的？其表面上有电荷分布吗？试求之。d解：(1)由E=−∇ϕ，可得dρ≤a时，E=−∇=ϕ0ddd∂∂⎡aa22⎤⎡⎤ρ≥a时，Ee=−∇=−ϕρφ⎢A()ρφ−cos⎥⎢−eA()ρφ−cos⎥∂∂ρρ⎣⎦⎣ρφρ⎦22dd⎛⎞aa⎛⎞=−eAρφ⎜⎟1c+22os1sφ+eA⎜⎟−inφ⎝⎠ρρ⎝⎠(2)该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布

5、，电荷面dddd密度为ρS=⋅eDn0=⋅εεeEρ=−2c0Aosφρρ==aa3.4已知y>0的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解？(1)−ycosh；(2)−y；(3)−2execosxexsincosx；(4)sinsinsinxyz。2解：在电荷体密度ρ=0的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程∇=ϕ0。222∂∂∂(cexexex−−−yyyosh)++(cosh)(cosh)=2c−yosh(1)222ex≠0∂∂∂xyz所以函数ex−ycosh不是y>0空间中的电位解；222∂∂∂(cexexex−−−yyyos)++(cos)(cos)=−−

6、yycoscos0(2)222−ex+=ex∂∂∂xyz所以函数ex−ycos是y>0空间中可能的电位解；∂∂∂−−−222(3)(sexincosxex)(s++incosxex)(sincosx)222∂∂∂xyz−−22=−4sexincos2sx+exincosx≠0所以函数−2exsincosx不是y>0空间中的电位解；222∂∂∂(4)(sinsinsin)xyz++(sinsinsin)xyz(sinsinsin)xyz222∂∂∂xyz=−3sinsinsinxyz≠0所以函数sinxsinsinyz不是y>0空间中的电位解。3.5一半径为R0的介质球，介

7、电常数为ε=εεr0，其内均匀地分布着体密度为ρ的21εr+ρ2自由电荷，试证明该介质球中心点的电位为R0。23εεr0d解：由高斯定理î∫SDSq⋅=d，得4πr3ρrDrρ2E==1rR<0时，4πrD1=ρ，即D1=，133εr0εε3r0ε33DρR3rR>时，24πR0ρR0E==1004πrD2=ρ，即D2=2，2233rε003εr故介质球中心点的电位为322RR00∞∞ρρrρρRR00ρR021εr+2ϕ(0)=+=ErdErddr+dr=+=()R∫∫∫0012RR∫00036εεr032ε0rεεr03ε