电磁场与电磁波(第4版)第4章部分习题参考解答

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1、dd1∂2E24.1证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程∇E−=0，其中22ct∂21ddωddωc=，E为常数。(1)EeE=−cos(ωtz)；(2)EeE=sin(z)cos(ωt)；0x0x0μεcc00ddω(3)E=+eEcos(ωtz)。y0cdddω∂2ω22证：(1)∇=∇EeEcos(ωωtzeE−=)cos(tz−)xx002cz∂cdω2ω=−eEt()cos(ω−z)x0ccd22∂∂Eddω2ω=−eEcos(ωωtzeEtz)=−cos(ω−)22xx00∂∂ttccdd11∂2Eddωω⎡⎤ω222∇−E=−eEtze()cos(ωω−−

2、−)Etzcos(ω−)0=22xx002⎢⎥ct∂ccc⎣⎦cdddωd1∂2E2即矢量函数E=−eEcos(ωtz)满足波动方程∇E−=0。x022cct∂ddd⎡⎤ωω∂2⎡⎤22(2)∇=∇EeEsin(z)cos(ωωteE)=sin(z)cos(t)xx00⎢⎥2⎢⎥⎣⎦cz∂⎣⎦cdω2ω=−eEz()sin()cos(ωt)x0ccd22∂∂Edd⎡⎤ωω2⎡⎤==eEsin(zte)cos(ωω)−Eztsin()cos(ω)22xx00⎢⎥⎢⎥∂∂tt⎣⎦c⎣⎦cdd11∂2Eddωω⎡⎤ω222∇−E=−eEzte()sin()cos(ωω)−−Ezt

3、sin()cos(ω)=022xx002⎢⎥ct∂ccc⎣⎦cdddωd1∂2E2即矢量函数EeE=sin(z)cos(ωt)满足波动方程∇E−=0。x022cct∂dddω∂2ω22(3)∇=∇EeEcos(ωωtzeE+=)cos(tz+)yy002cz∂cdω2ω=−eEt()cos(ω+z)y0ccd22∂∂Eddω2ω=+eEcos(ωωtzeEtz)=−cos(ω+)22yy00∂∂ttccdd11∂2Eddωω⎡⎤ω222∇−E=−eEtze()cos(ωω+−−)Etzcos(ω+)0=22yy002⎢⎥ct∂ccc⎣⎦cdddωd1∂2E2即矢量函数EeE

4、=+cos(ωtz)满足波动方程∇E−=0。y022cct∂dd4.2在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度Er()的波动方程为dddd22∇+Er()ωμεEr()0=ddddddddd−⋅jkr已知矢量函数Er()=Ee，其中E和k是常矢量。试证明E()r满足波动方程00d22的条件是k=ωμε，这里kk=。dddd证：在直角坐标系中rexeyez=++xyzdddd设kekekek=++xxyyzzdddddddd则krekekekexeyezkxkykz⋅=()++⋅(++)=++xxyyzzxyzxyzdddddd−⋅jkr−++j(kxkykzxyz)故Er(

5、)==EeEe00dddddd22−⋅jkr2−++j(kxkykzxyz)∇=Er()E∇=eE∇e00d⎛⎞∂∂∂222−++j(kxkykzxyz)=+E⎜⎟+e0222⎝⎠∂∂∂xyz222dd−++j(kxkykzxyz)2d=−−−()kkkEe=−kEr()xyz0dddd22代入方程∇+Er()ωμεEr()0=，得dd22−kE+=ωμεE022故k=ωμε4.3已知无源的空气中的磁场强度为dd9He=×0.1sin(10πx)cos(6π10tk−z)A/my利用波动方程求常数k的值。dddd∂2Hrt(,)2解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方程∇H

6、rt(,)−=με0002∂t而ddd229∇=Hrte(,)∇[0.1sin(10πx)cos(6π×10tkz−)]yd229=−ekxt[(10π)]−0.1sin(10π)cos(6π×−10kz)]ydd22∂∂Hrt(,)d9=×ex0.1sin(10π)cos(6π10t−kz)22y∂∂ttd929=−ex(6π×10)0.1sin(10π)cos(6π×10t−kz)]ydddd∂2Hrt(,)2代入方程∇−Hrt(,)με=0，得002∂td22929eky{[(10−−π)](+×με006π10)0.1sin(10}πxt)cos(6π×−10kz)

7、=02292于是有[(10−−π)](k+×=με6π10)000922故得k=×με(6π10)−(10π)1=03π00ddω4.4证明：矢量函数E=−eEcos(ωtx)满足真空中的无源波动方程x0cdd1∂2E2∇E−=022ct∂但不满足麦克斯韦方程。证：dddωd∂2ωωdω222∇=Ert(,)ceE∇−=os()ωωtxeEcos()(t−=x−e)Ecos()ωt−xxx002x0cxcc∂c∂∂22dddωdω22ErteE(,)=−cos(ωωtx)=−eEcos(ωt−x)22xx00∂∂t