导数的性质与应用

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1、山东城建职业学院工程数学电子教案第三章导数与微分导数与微分（14学时）　　内容：　　导数、左右导数的概念，导数的几何意义，导数的基本公式与运算法则，反函数、复合函数，初等函数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的函数的导数，简单函数的高阶导数，隐函数的二阶导数，由参数方程所确定的函数的二阶导数。变化率的应用，微分概念和运算以及微分的应用。　　要求：　　理解导数的定义及其几何意义，了解连续与可导的关系。熟练掌握导数的基本公式与运算法则，熟练掌握复合函数、初等函数、隐函数的求导方法。掌握取对数的求导法，掌握由参数方程所确定的函数的求导法。理解高阶导数的

2、概念及其几何意义，了解微分用与近似计算。　　重点与难点：　　重点是导数的定义及运算法则，导数的几何意、复合函数、初等函数、隐函数的求导方法。微分的概念，求二阶导数。难点是商的导数公式的运用。求二阶导数。第三章导数与微分本章内容简介：微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢的速度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。本章里，我们主要学习导数和微分的概念以及它们的计算方法，而导数的应用，则在下一章讨论。第一节导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了

3、解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念,导数的几何意义教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握教学时数：2学时教学内容：第33页共33页山东城建职业学院工程数学电子教案一、导数概念的引例为了引出导数的概念，我们先看下面两个关于变化率的实际问题。（1）直线运动的速度例如，物体作匀速直线运动时，其速度为（1）如果物体作变速直线运动，则上式只能表示从时刻到的平均速度，如果时间间隔选得较短，这个比值（1）在实践中也可用来说明动点在时刻的速度。但对于动点在时刻的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令,取（1）

4、式的极限，如果这个极限存在，设为，即，这时就把这个极限值称为动点在时刻的（瞬时）速度。（2）切线问题我们就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线上的一个点（图2-2），则。根据上述定义要定出曲线在点处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点外另取上的一点，于是割线的斜率为，其中为割线的倾角。当点沿曲线趋于点时，。如果当时，上式的极限存在，设为,即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线的倾角。于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线。事实上，由以及时，可见时（这时），。因此直线确为曲线在点处的切线。图2-

5、2图2-1第33页共33页山东城建职业学院工程数学电子教案二、导数的定义与几何意义1．定义上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题。但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一个极限即因变量的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于0时的极限。这就是导数。定义设函数在点内有定义，当自变量在处取得增量（）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，（2）也可记作，或。函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。导数的定义式（2

6、）也可取不同的形式，常见的有（3）和（4）区间可导和导函数(1)如果函数y=f(x)在某个开区间（a,b）内每一点x处均可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导。(2)若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数y=f(x)的导函数，导函数往往简称为导数。如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。2、导数的几何意义 第33页共33页山东城建职业学院工程数学电子教案函数y=f(x)在处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在处的切线的斜率

7、，即,α为切线与x轴正向的夹角。根据点斜式直线方程，可得处的切线方程为：相应点处的法线方程为：是曲线在点的切线斜率；路程对时间的导数是时刻的速度；在抽象情况下，表示在点变化的快慢。求导练习下面根据导数定义求一些简单函数的导数 例1求函数（为常数）的导数。解：，即。这就是说，常数的导数等于零。例2求函数（为正整数）在处的导数。解：。把以上结果中的换成得，即。更一般地，对于幂函数（为常数），有。这就是幂函数的导数公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：当时，（）的导数为，即；当时，（）的导数为，即。第33页共33页山东城建职业学院工程数学电

8、子教案例3例求函数的导数解即这就是说,正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得就是说,余弦函数的导数是