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1、第三讲导数与导数应用一、某处导数值的定义对于函数y=f(x)在x0处，特殊极限值=a存在，则称函数在x0处导数存在为a，记为f'(x0)，否则称不可导．二、导函数（简称导数）1:导数公式：（sinx）'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=,(cotx)'=,（x为自变量，α为常数，以下类似），特别,，特别,c＇＝0（常数的导数为0）,[u(x)+v(x)]＇＝u＇(x)+v＇(x)（相加的导数等于导数相加）(au(x))＇=au＇(x),(数乘的导数可以提出来)，（其中a为某常实数）[u(x)-v(
2、x)]＇＝u＇(x)-v＇(x).(相减的导数等于导数相减)例1:(1)已知函数,求函数在1处的导数．解:有两种方法可解此题,一种为定义法,一种为公式法.一般用公式法.,,所以．(2)已知:,求:.解.(3)已知:,求:解:(4)已知:,求:,解:.(5)已知,求:解:(6),求,解..注:切记微分公式dy＝y＇dx.2:相乘除的导数法则(1),．(2)微分：设y=y(x),则：y的微分dy=y＇dx例1:已知函数y=extanx,求:y＇,dy解：y＇＝（extanx,）＇＝（ex）＇tanx＋ex（tanx）＇,,
3、则dy＝y＇dx＝.例：已知函数y=,求:y＇,dy解：y=,y＇＝,所以：dy=y＇dx＝.例．已知，求．解(x)===例．已知，求．解：(x)===例．已知，求,．解,三、复合函数的求导1：复合函数的求导的公式，（其中*为x的函数，即*中有自变量）（sin*）'=cos*×*＇(cos*)'=-sin*×*＇(tan*)'=×*＇(cot*)'=×*＇（α为常数），特别,，特别,复合函数求导的有关内容比较难,比较重要，请务必注意.例1:已知函数y=e3x,求：dy.解：先把3x看成*，则y＇＝（e3x）＇＝e3x（
4、3x）＇＝3e3x,dy=y＇dx=3e3xdx.例2：已知函数y=sin4x2,求：dy.解：先把4x2看成*，则y＇=（sin4x2）＇,则dy例3:已知函数y=,求：y＇.解：先把看成*，则,再分别把2x,4x看成*，则：.例4:．已知，求；解因为所以例5:已知y=，求．解因为所以例6:设，求．解因为所以例7．设，求．解因为所以例8．已知，求解：四、几何应用一个函数在x0处的导数值就是图像在这里切线的斜率．例1；已知抛物线y=3x2+6x-7，求在x=1处切线方程解：y＇=（3x2+6x-7）＇＝6x+6,y＇(
5、1)=6+6=12为切线的斜率Ｋ，再根据点斜式方程 y-y0=K(x-x0),其中x0＝１，y0＝3＋6－7＝2,则方程为： y-2=12(x-2), y=12x－22,注：很多人只算y＇，不算y＇(1)，这是错误的．五:隐函数求导例1方程x2+y2=3sinx确定函数y=y(x),求y'(x)解（注意y是x的函数）方程两边对x求导，有2x+2yy'=3cosx,2yy'=3cosx-2x,.例2:方程ex+xy2=3y确定函数y=y(x),求y'(x)和dy解方程两边对x求导，有xex+y2+2xyy
6、'=3y',(2xy-3)y'=-(xex+y2),..例3．由方程确定是的隐函数，求.解对方程两边同时求导，得=.例4．设函数由方程确定，求．解：方程两边对x求导，得当时，所以，例5．由方程确定是的隐函数，求．解在方程等号两边对x求导，得故
