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《7导数的应用凸凹判定和性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、厂辺•…［中su考敦學母②(基础型)导教的应用凸凹判定和性质导数不仅可研究函数的单调性,解决函数的极值问题，而且还可更精细的研究函数的凸I叫性，并可从函数的凸凹性，肓观得到函数的凸凹性质，进而发现函数的拐点和性质.［知识结构］:()(凸凹判定)①两数f(X)在区间D内是凸函数of(x)在D内单调递减;②函数f(x)在区间D内是凹函数oOf(x)在D内单调递增;(11)(凸凹性质)㈠不等性质:①两数f(x)在区间D内是凸函数O对任意的a.beo,都有f(¥)>如学也；②函数f(X)在区间D内是凹函数o对任意的a,bED,都有f(罟)〈/a；川
2、)㈡切线性质:©f(x)是凹函数oy=f(x)的图像在任意一点处的切线不在y=f(x)的图像之上;②f(x)是凸函数oyh(x)的图像在任童一点处的切线不在y=f(x)的图像Z下；(111)(拐点性质)㈠定义:连续Illi线上凹弧与凸弧的分界点称为Illi线的拐点；㈡判定:①若f(x)在xO处二阶可导，则xO为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是(xo)=0;®若f(x)在X。的邻域内有三阶连续导数，则X。是1111线y=f(x)的一个拐点of(x°)=0,且厂(x°)H0;㈢性质：若f(x)在x°处的可导，则X。是曲线尸f(x)的一个拐点。
3、曲线y二f(x)在x。处附近位于切线的两侧.［问题类型］:1•凸凹判定［例1］:(2013年浙江高考试题)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象2_—,且其导函数y=T(x)的图彖如右图所示，则该函数的图象是()［解析］:当-1f(x)为凹函数;当OMxG时，广(x)递减=>f(x)为凸函数.故选(B).［方法导引］:判定函数的凸凹性，可用如下结论：①y二f(x)递增的图象上下竖直对应y=f(x)的凹图象；②y二广(x)递减的图象上下竖直对应y=f(x)的凸图象.［同类试题］:1.(2009年湖南高考试题)若
4、函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是増函数,则函数y二f(x)在区间［a,b］上的图象可能是()CD②［解析］:由心1如）-1如）"（-网（1-小（1+站仏）=①正确;f（熬*［中借高考鞍學母越］儘础型）原创者：*姒0552-2078159QQ«,3161504492于包q町切兀M連MHUD02—4Y13100T110予〒ioq/d*zrrrr"•壬）小（卜熬）g（Tggf（心②正确;对于③:由①知从）是奇ln(l+—1+x函数，只须证:当xe[0,1)时，
5、f(x)
6、M
7、x
8、oIn(l+x)-ln(l-x)Mx;由f(x)=—+—
9、=>f(0)=2=>f(x)在x=0处的1+x1-x切线y=2x;乂厂(x)二-—L_+—1^二笛>0nr(x)是凹函数nr(x)>2x>x.故选⑷・(i+.v)2(i-x)2(i-x2r［方法导引］:凸凹函数具有许多直观性质，除不等性质和切线性质外，还有弧线性质：①f（x）是凹函数of（x）在任意两点间的曲线不在两点间的线段之上；②f（x）是凸函数of（x）在任意两点间的曲线不在两点间的线之下.［同类试题］:3.（2002年北京高考试题）如图所示，fi（x）（i=l,2,3"）是定义在［0,1］上的四个函数,尸…A其中满足:“对01］中任
10、意的XI和X2,任意入丘［0,1］江［入亦（1-入加］冬"5）+（1-入）£弘）恒成立”的只有（）(A)fi(X),fa(x)(C)fz(x),f3(x)(D)f4(x)4.（2007年江西高考试题）（文）若0—x(C)sinx<—x7T(D)sinx>—x713.拐点性质［例3］:（2014年安徽高考试題）若直线1与曲线C满足下列两个条件：（i）直线1在点P（x。,y。）处与曲线C相切；（ii）曲线C在P附近位于直线1的两侧，则称直线1在点P处“切过”曲线C.下列命
11、题正确的是（写出所有正确命题的编号）.①直线1:尸0在点P（0,0）处"切过''曲线C:尸x［②直线l:x“l在点P（-1,0）处“切过”曲线C:尸（X+1F;③直线l:y=x在点P（0,0）处“切过“曲线C:y=sinx;④直线1:y=x在点P（0,0）处"切过”曲线C:y=tanx;@直线l:y=xT在点P（l,0）处"切过”曲线C:y=lnx.［解析］:对于①：由y=x3^y=3x2=>/i.o=0直线y二0是过点P（0,0）的曲线C的切线，由图像知满足（ii）n①正确；由直线l:x=-l不与曲线C相切n②错误；由y二sinxny=c
12、osx=>八冋二1n直线y二x是过点P（0,0）的曲线的切线，由图像知满足（ii）=>③正确；由y=tanx=>/=—「=>/ix=o=l=>直线y=x是过点P（0,0）的曲线的
