运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质

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1、运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质在二次函数的教学中，二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标是学生难以理解也很容易错的知识点。而二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数的图象与性质的关系更是学生容易混淆、难以掌握的知识点。文章通过运用几何画板动态解析二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k是如何产生的，动态解析一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c的改变后二次函数的图象是如何变化的，从中梳理二次函数的图象和性质。一、二次函数y=ax2的图象与性质在二次函数的图象和性质的教学中，我们是从简单的二次函数y=ax2入手学习二次

2、函数的图象和性质的。二次函数y=ax2中只含有一个系数a，我们利用几何画板改变a的取值观看y=ax2的图象的变化。从图1、图2发现：a>0时，二次函数y=ax2的图象开口向上；aO时，图象有最低点，即有最小值0;当aO时，在y轴左侧(即x0)，y随x的增大而增大。如图6所示：当a0)，y随x的增大而变小。二、二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的动态形成在函数的学习中，先学习最简单函数。从简单到复杂，从特殊到一般。二次函数顶点式的形成可以看作由二次函数y=ax2的图形移动得到。1.二次函数y=a(x+h)2可以看作y=ax2左右移动得到如图7所示:y=0.

3、4(x+4.7)2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向左移动4.7个单位长度得到。y=0.4(x-4.7)2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向右移动4.7个单位长度得到。归纳规律：函数图象向左移动时，在表达Sy=ax2中x后加上移动的单位长度；函数图象向右移动时，在表达式y=ax2中x后减去移动的单位长度(S卩“左加右减”)。1.二次函数y=ax2+k可以看作y=ax2上下移动得聲J图8所示：y=0.4x2+4.4的图象可以看作是y=0.4x2的函数图象向上移动4.4个单位长度得到。y=0.4x2-3.6的图象可以看作是y=0.4x2的函数图象向

4、下移动3.6个单位长度得到。通过动态解析二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的图象，从图象就可以直观得出二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的性质。如幵口、对称轴、最大值、最小值、单调性等可以直接通过图象观察得到。三、二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数的图象的关系1.二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a与函数图象的关系当b、c的值不变时，a的值发生改变，二次函数图象变化情况如图10所示，图示所表示的是二次函数y=ax2+4.3x+3.3的图象变化。从图像中可以得到：a的改变会影响到二次函数的开口变化和对称轴的变化，然而，二次

5、函数与y轴的交点是不会改变的。1.二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数b与函数图象的关系当a、c的值不变时，b的值发生改变，二次函数图象变化情况如图11所示，图示所表示的是二次函数y=2.7x2+bx+3.3的图象变化。从动画中可以得到：b的改变会影响到二次函数对称轴的变化，然而，二次函数的幵口与y轴的交点都是不会改变的。另外，顶点运动的轨迹也是一条抛物线，该抛物线与原抛物线开口方向相反，幵口大小一样，对称轴是y轴，由此可以猜想顶点运动的轨迹是y=2.7x2+3.3o2.二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数c与函数图象的关系当a、b的值不变时，c的

6、值发生改变，二次函数图象变化情况如图12所示，图示所表示的是二次函数y=1.7x2+6.6x+c的图象变化。从动画中可以得到：c的改变会影响到二次函数与y轴的交点的改变，而图象的开口、对称轴都是不会改变的。c的值和二次函数与y轴交点的纵坐标值一样。顶点运动的轨迹是一条直线，就是y=1.7x2+6.6x+c的对称轴。1.二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b与函数图象的#系有上述可知，a、b影响二次函数的对称轴位置。那a、b具体是如何决定对称轴的具体位置的呢？从图13可以观察到：a、b同时为正数或同时为负数时，二次函数的对称轴在y轴的左侧；a、b为一

7、正一负时，二次函数的对称轴在y轴的右侧。为什么会有这样的性质，我们可以从对称轴公式入手说明。二次函数对称轴公式是。当a、b同号时，为负数，所以二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧；当a、b异号时，为正数数，所以二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴左侧。综上所述，二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数图象的关系为：a影响二次函数的开口与对称轴的位置，b影响二次函数对称轴的位置，c决定了二次函数与y轴交点坐标。运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质，能够用动态的思维学习二次函数，也能够解决学习二次函数的难点问题，如顶点式

8、中读取顶点坐标问题，学生容易把横坐标符号弄错。二次函数一般式中a、