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1、第3讲：Wiener滤波Wiener滤波器是从统计意义上的最优滤波,它要求输入信号是宽平稳随机序列,本章主要集中在FIR结构的Wiener滤波器的讨论。由信号当前值与它的各阶延迟，估计一个期望信号，输入信号是宽平稳的，和是联合宽平稳的,要求这个估计的均方误差最小.。Wiener滤波器的几个实际应用实例如下：①通信的信道均衡器。图1.信道均衡器的结构示意②系统辨识：图2.线性系统辨识的结构③一般结构:12图3.Wiener滤波器的一般结构Wiener滤波器的目的是求最优滤波器系数，使最小。§3.1从
2、估计理论观点导出Wiener滤波FIR结构(也称为横向)的Wiener滤波器的核心结构如图4所示.图4.横向Wiener滤波器为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号，确定权系数使估计误差均方值最小，均方误差定义为：这里估计写为：除了现在是波形估计外，与线性Bayesian估计一一对应。12R（零均值假设）这里,Wiener滤波与线性Bayesian估计变量之间具有一一对应关系,设最优滤波器系数为，由线性Bayesian估计得到Wien
3、er滤波器系数对应式：上式后一个方程称为Wiener-Hopf方程,或结论：1)Wiener滤波器是线性FIR滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会达到更好结果。2)在联合高斯条件下，Wiener滤波也是总体最优的（①从Bayesian估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件）3)从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w时，其误差性能表示：它是w的二次曲面，只有一个最小点，时，§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener滤波器Wiener滤波器是一个最优线性滤波器，图3是一
4、个一般表示框图，滤波器核是IIR或FIR的，为了导出后续常用的一些工具,我们导出最优滤波器的正交原理,并从正交原理出发重新导出一般的Wiener滤波器方程,先推导适应于IIR和FIR的一般结论，然后重点讨论FIR。讨论一般的复数形式。·输入过程。·滤波器系数，（权系数）·希望的响应d[n]·输出误差：12·正交性原理对复数据情况，推导一般结论，实数据是特例。均方误差是：设权系数定义递度算子其中符号是递度算子作用于J，其中第k项为：要求的值,使得J最小,即或等价：将代入递度算子得到：由得到：12代入
5、表达式整理得：当时，J达到最小。设J达最小时，用表示权系数和误差e[n]，且则有：，和，以上两式为正交性原理，达到最优滤波时，误差和输入正交。推论：·最小均方误差：在达最优时，也写成：，表示由张成的空间对d[n]的估计（最优线性估计）。也可以写成：由和正交性得：12即：·维纳－霍夫方程（Wiener-Hopf）由正交性原理即：得：由于：得：这就是Wiener-Hopf方程，解此方程，可得到最优权。对于M阶FIR滤波器，（横向滤波器）wiener-Hopf方程变为：，·矩阵形式：令和112Winer
6、-Hopf方程写为：这里解方程求得：·再看最小均方误差由得则分析：由正交原理导出Wiener滤波器和从线性贝叶斯估计得到wiener滤波器,分别得到一些有益的启示,从估计理论看,Wiener滤波器只是一个线性Beyesian估计,它是最优估计的一个线性逼近,只有在高斯情况下,它才是真正的最优滤波器,在其它分布情况下,非线性滤波器可以达到比线性最优滤波器更优的结果.从一般线性最优滤波器的正交原理出发,我们容易忽视这些限制。·误差性能表面12由直接代入整理得：由上式，可以看出，J是Wk的二次曲面，是碗
7、状曲面，碗口向上，Jmin在碗底，其实，由上式直接对wk求导，得到一组方程，正是wiener-Hopf方程。上式也可以直接写成矩阵形式它可以整理成如下形式：上式在时，达最小，性能表面也可以写成：由于故令通过坐标变换，得到如上规范形式，对于一个给定,有：12这是超相圆，为其一个轴。数值例子：①希望响应是一个AR(1)过程，，是白噪声，,由白噪声驱动的产生该过程的传输函数为:②经过了一个通信信通，信道的传输函数为，并加入了白噪声即：通道模型如图5所示:图5.通道模型③求解：一个二阶FIR结构Wiene
8、r滤波器，目的是由u[n]恢复d[n]解：①是一个过程，②在中,是一个二阶过程,相当于12由二阶参数，确定,由Yule-walker方程：反解.得由上确定x[n]的自相关矩阵为:但：③求由：,和代入上式12得：故④性能表面⑤最优系数⑥最小均方误差：①规范误差性能表面解12这是一个随圆，主轴，副轴性能表面等高线如图6.图6.性能表面的等高线12
