高中不等式数列综合难题

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1、1、已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点P的横坐标为.  （1）求证：点P的纵坐标是定值;  （2）若数列的通项公式为,求数列的前m项和；  （3）设数列满足:，设，若（2）中的满足对任意不小于2的正整数n,恒成立,试求m的最大值.2、 (本小题共13分)对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N*)．对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中．（Ⅰ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列，若数列是等差数列，使得       对一切正整数N*都成立，求；（Ⅲ）在（Ⅱ）的

2、条件下，令设若成立，求最小正整数的值．3、 (本小题满分14分)已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．4、（本小题14分）设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{an}满足：a1＝f(1)＋1，（1）求数列{a

3、n}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；（2）设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{bn}满足：，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小。5、已知定义在上的奇函数满足，且对任意有．（Ⅰ）判断在上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令，，求数列的通项公式．（Ⅲ）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值．6、对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“M类数列”．（I）若，，，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，

4、若不是，请说明理由；（II）若数列满足，．(1)求数列前项的和．(2)已知数列是“M类数列”，求.7、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）．8、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）．9、（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．10、

5、已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明：（Ⅰ）当时，；（Ⅱ）当时，。11、已知数列中，，且（1）求证：；（2）设，是数列的前项和，求的解析式；（3）求证：不等式对于恒成立。12、设为正整数，规定：，已知．（1）解不等式：；（2）设集合，对任意，证明：；（3）求的值；（4）若集合，证明：中至少包含有个元素．13、已知函数满足下列条件：      ①函数的定义域为[0，1]；      ②对于任意；     ③对于满足条件的任意两个数  （1）证明：对于任意的；  （2）证明：于任意的；  （3

6、）不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.15、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为.（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.16、函数的定义域为{x

7、x≠1}，图象过原点，且．（1）试求函数的单调减区间；（2）已知各项均为负数的数列前n项和为，满足，求证：；参考答案一、综合题1、解：（1）当时，在上单

8、调递减，又的最小值为，∴，得t=1;当时，在上单调递增，又的最小值为，∴，得t=2（舍）;当t=0时，（舍），∴t=1,.∵∴，∴，即p点的纵坐标为定值。  （2）由(1)可知,,所以,即由,…① 得…②由①＋②,得∴   （3）∵,……③ ∴对任意的.……④由③、④,得即.∴.∵∴数列是单调递增数列.∴关于n递增.当,且时,.∵∴∴即∴∴m的最大值为6.2、解：（Ⅰ）由及，得  ，∴∴   ———————————————2分∴数列是首项为公差为的等差数列，∴．————————4分（Ⅱ）∵ ，∴．∵，   ∴

9、．————————————9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，       ① 有            ，      ②①-②得，∴，   ——————————10分又，∴，∴是递增数列，且，∴满足条件的最小正整数的值为6．————————13分3、解：（1）（法一）在中，令，，得  即      ……………………………………2分解得，，                       …………………………………