高中不等式数列综合难题

高中不等式数列综合难题

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1、1、已知函数在上的最小值为,,是函数图像上的两点,且线段的中点P的横坐标为.  (1)求证:点P的纵坐标是定值;  (2)若数列的通项公式为,求数列的前m项和;  (3)设数列满足:,设,若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n,恒成立,试求m的最大值.2、 (本小题共13分)对数列,规定为数列的一阶差分数列,其中N*).对正整数k,规定为的k阶差分数列,其中.(Ⅰ)若数列的首项,且满足,求数列的通项公式;(Ⅱ)对(Ⅰ)中的数列,若数列是等差数列,使得       对一切正整数N*都成立,求;(Ⅲ)在(Ⅱ)的

2、条件下,令设若成立,求最小正整数的值.3、 (本小题满分14分)已知数列是各项均不为的等差数列,公差为,为其前项和,且满足,.数列满足,为数列的前n项和.(1)求、和;(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.4、(本小题14分)设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意x,y∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1,(1)求数列{a

3、n}的通项公式,并求Sn关于n的表达式;(2)设函数g(x)对任意x、y都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若g(1)=1,正项数列{bn}满足:,Tn为数列{bn}的前n项和,试比较4Sn与Tn的大小。5、已知定义在上的奇函数满足,且对任意有.(Ⅰ)判断在上的奇偶性,并加以证明.(Ⅱ)令,,求数列的通项公式.(Ⅲ)设为的前项和,若对恒成立,求的最大值.6、对于给定数列,如果存在实常数,使得对于任意都成立,我们称数列是“M类数列”.(I)若,,,数列、是否为“M类数列”?若是,指出它对应的实常数,

4、若不是,请说明理由;(II)若数列满足,.(1)求数列前项的和.(2)已知数列是“M类数列”,求.7、(本小题满分14分)已知函数.(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;(2)当时,试比较与的大小;(3)求证:().8、(本小题满分14分)已知函数.(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;(2)当时,试比较与的大小;(3)求证:().9、(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)求函数的定义域,并证明在定义域上是奇函数;(Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)当时,试比较与的大小关系.10、

5、已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数,证明:(Ⅰ)当时,;(Ⅱ)当时,。11、已知数列中,,且(1)求证:;(2)设,是数列的前项和,求的解析式;(3)求证:不等式对于恒成立。12、设为正整数,规定:,已知.(1)解不等式:;(2)设集合,对任意,证明:;(3)求的值;(4)若集合,证明:中至少包含有个元素.13、已知函数满足下列条件:      ①函数的定义域为[0,1];      ②对于任意;     ③对于满足条件的任意两个数  (1)证明:对于任意的;  (2)证明:于任意的;  (3

6、)不等式对于一切x∈[0,1]都成立吗?试说明理由.15、设不等式组所表示的平面区域为,记内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为.(1)求的值及的表达式;(2)记,试比较的大小;若对于一切的正整数,总有成立,求实数的取值范围;(3)设为数列的前项的和,其中,问是否存在正整数,使成立?若存在,求出正整数;若不存在,说明理由.16、函数的定义域为{x

7、x≠1},图象过原点,且.(1)试求函数的单调减区间;(2)已知各项均为负数的数列前n项和为,满足,求证:;参考答案一、综合题1、解:(1)当时,在上单

8、调递减,又的最小值为,∴,得t=1;当时,在上单调递增,又的最小值为,∴,得t=2(舍);当t=0时,(舍),∴t=1,.∵∴,∴,即p点的纵坐标为定值。  (2)由(1)可知,,所以,即由,…① 得…②由①+②,得∴   (3)∵,……③ ∴对任意的.……④由③、④,得即.∴.∵∴数列是单调递增数列.∴关于n递增.当,且时,.∵∴∴即∴∴m的最大值为6.2、解:(Ⅰ)由及,得  ,∴∴   ———————————————2分∴数列是首项为公差为的等差数列,∴.————————4分(Ⅱ)∵ ,∴.∵,   ∴

9、.————————————9分(Ⅲ)由(Ⅱ)得 ,       ① 有            ,      ②①-②得,∴,   ——————————10分又,∴,∴是递增数列,且,∴满足条件的最小正整数的值为6.————————13分3、解:(1)(法一)在中,令,,得  即      ……………………………………2分解得,,                       …………………………………

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