全等三角形及其应用

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1、第3讲全等三角形及其应用【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通

2、常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的；-8-旋转如图（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的；平移如图（3），DD

3、EF≌DACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。5.判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6.注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两边和其中一角对应相等，即SSA。-8-全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应

4、用（1）证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC（2）证明线段平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE-8-(4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。-8-5、

5、中考点拨：例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．例2如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED-8-题型展示：例1如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．【实战模拟】1.下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三

6、角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．3.如图，已知C为线段AB上的一点，DACM和DCBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：DCEF是等边三角形。-8-4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<(AB+AC)5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．-8-例6D为等腰斜边

7、AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。例7.如图，在中，，，为上任意一点。求证：。-8-